比率の標本標準偏差の標準誤差

私は最近、ゲルマンとヒルの「回帰とマルチレベル/階層モデルを使用したデータ分析」を読み始めましたが、質問はそれに基づいています。

サンプルには、比率に関する6つの観測値が含まれています。 $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{6}$

各 $p_{i}$ 意味がある $\pi_{i}$ と分散 $\frac{\pi_{i}(1-\pi_{i})}{n_i}$ 、どこ $n_{i}$ 比率を計算するために使用される観測値の数です $p_{i}$ 。

テスト統計は $T_{i} =$ これらの比率のサンプル標準偏差。

この本は、6つの比率の標本分散の期待値は、 $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{6}$ 、 $(1/6)\sum_{i=1}^{6} \pi_{i}(1-\pi_{i})/n_{i}$ 。私はこのすべてを理解しています。

知りたいのは $T_{i}$ とその分散？誰かがそれを教えてくれたり、この情報が含まれている本や記事に案内してくれたら幸いです。

トンありがとう。

distributions binomial standard-deviation

— 好奇心が強い
ソース

確認する本はありませんが、標本分散の期待値に関する記述は奇妙な印象を受けます。確かにそれはの変動性に依存する必要があります

π_{i}

$\pi_i$ もです。

— Aniko、2011年

テスト統計は、スチューデントのt、正規分布、F分布などの分布のルックアップ値です。本を調べて、その統計の分布の名前を見つけます。分散も同様に関連しているはずです。

— カール、

誰もが分布を知りたくないでしょう

T_{i}

$T_i$ それはとても厄介だからです。これは、比率自体が離散的であるためです。

p_{i}

$p_i$ 値のみを取ることができます

0 / n_{i}, 1 / n_{i}, \dots, n_{i} / n_{i}

$0/n_i, 1/n_i, \ldots, n_i/n_i$ - したがって

T

$T$ （その上に下付き文字はないはずです）も離散的ですが、その可能な値は多数あり、等間隔の一連の間隔内に収まりません。これは、それぞれの最初の4つのモーメントの関数であるため、その変動はそれほど難しくありません。

p_{i}

$p_i$ そして、それらは書くのが比較的簡単です。

— whuber

@Carlは真実であり、OPの質問に対する直接的な回答ではありませんが、検討する価値があります。ただし、時々、正確な分布がテスト統計のために導き出され、これらは対応するテストのより良い小さなサンプル特性を提供できます。これがそのようなケースであるとは思いません。

— AdamO

比率の正確な分布は、 $p_i \text{ ~ Bin}(n_i, \pi_i)/n_i$ 、および比率は値を取ることができます $p_i = 0, \frac{1}{n_i}, \frac{2}{n_i}, ..., \frac{n_i-1}{n_i}, 1$ 。結果の標本標準偏差の分布 $T$ 複雑な離散分布です。させる $\boldsymbol{p} \equiv (p_1, p_2, ..., p_6)$ 、それは最も簡単な形で次のように書くことができます：

F_{T} (t) \equiv P (T ⩽ t) = \sum_{p \in P (t)} \prod_{i = 1}^{6} Bin (n_{i} p_{i} | n_{i}, π_{i}),

$F_T(t) \equiv \mathbb{P}(T \leqslant t) = \sum_{\boldsymbol{p \in \mathcal{P}(t)}} \prod_{i=1}^6 \text{Bin}( n_i p_i|n_i, \pi_i),$

ここで、は、以下の標本分散をもたらすすべての比率ベクトルのセットです。一般的に、これを単純化する方法は実際にはありません。この分布から正確な確率を得るには、関心のある範囲で標本分散を生成する比率ベクトルを列挙し、その列挙された範囲の二項積を合計する必要があります。これは、値が中程度に大きい場合でも、面倒な計算ます。 $\mathcal{P}(t) \equiv \{ \boldsymbol{p}| T \leqslant t \}$ $t$ $n_1, ..., n_6$

さて、明らかに、上記の分布はあまり役に立ちません。興味のある結果を列挙し、それらの確率を合計する必要があるということだけが本当にわかります。このため、この場合に正確な確率を計算することは珍しく、標本分散の分布を漸近形にアピールする方がはるかに簡単です。

— ベン-モニカの復活
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