標準正規分布の期待値を計算する方法は？

連続確率変数の期待値を計算する方法を学びたいのですが。期待値はここで、は確率密度関数です。

E [X] = \int_{- \infty}^{\infty} x f (x) d x

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)\mathrm{d}x$

f (x)

$f(x)$

X

$X$

確率密度関数があるとします標準正規分布。 $X$

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{\frac{- x^{2}}{2}}

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^{2}}{2}}$

したがって、最初にPDFをプラグインして、は、やや乱雑に見える方程式です。定数は積分の外に移動でき、

E [X] = \int_{- \infty}^{\infty} x \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{\frac{- x^{2}}{2}} d x

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^{2}}{2}}\mathrm{d}x$

\frac{1}{\sqrt{2 π}}

$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$

E [X] = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} x e^{\frac{- x^{2}}{2}} d x .

$E[X] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} xe^{\frac{-x^{2}}{2}}\mathrm{d}x.$

ここで動けなくなる。積分を計算するにはどうすればよいですか？私はこれをここまで正しくやっていますか？期待値を取得する最も簡単な方法はありますか？

random-variable pdf expected-value

— んー
ソース

あなたの質問のタイトルは誤解を招くものです。実際には、標準の正規確率変数の期待値を計算しようとしています。RVの関数の期待値を計算することもできます。「標準正規分布の期待値を計算する方法」というタイトルを付けたいと思います。または「連続確率変数の期待値を計算する方法」。

— Gumeo

@GuðmundurEinarssonが修正されました。

— mmh 2013年

「ここで行き詰まっています。積分はどのように計算すればよいですか？」の導関数を見つけます。（いいえ、私は面倒ではなく、あなたに不必要な忙しい仕事を提案していません;私は致命的に真面目です;それをしてください！）次に、見つけた派生物をじっと見つめます。

- e^{- \frac{x^{2}}{2}}

$-e^{-\frac{x^2}{2}}$

— Dilip Sarwate、2015

回答:

あなたはほとんどそこにいます、あなたの最後のステップに従ってください：

E [X] = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} x e^{\frac{- x^{2}}{2}} d x = - \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} / 2} d (- \frac{x^{2}}{2}) = - \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2} ∣_{- \infty}^{\infty} = 0

$E[X] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} xe^{\displaystyle\frac{-x^{2}}{2}}\mathrm{d}x\\=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2/2}d(-\frac{x^2}{2})\\=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\mid_{-\infty}^{\infty}\\=0$ 。

または、が奇関数であり、積分の制限が対称であるという事実を直接使用することもできます。 $xe^{-x^2/2}$

— 深い北
ソース

対称性の引数は、両方の半分がそれ自体収束している場合にのみ機能します。

— Glen_b-2015

2行目で何が起こるか説明していただけますか？

— mmh 2013年

グレンのコメントは、収束しない場合は正しいので、変数の変更は機能しません

— Deep North

も最初の負符号に注意するため、2番目の行は最初の行と同じです。次に、統合のための変数の変更を考えることができます。その後、制限が変更されなかったため、変数を元に戻します。または、部品による統合を使用できます。そして、覚えておいてください

d (- \frac{x^{2}}{2}) = - x d x

$d(-\frac{x^2}{2})=-xdx$

\int_{a}^{b} e^{y} d y = e^{y} ∣_{a}^{b}

$\int_{a}^{b}e^y dy=e^y\mid_{a}^{b}$

— ディープノース

対称性を使用して平均を取得するには、収束することを知る必要があります-この場合は収束しますが、より一般的にはそれを想定できません。たとえば、対称性の引数は、標準コーシーの平均は0であると言いますが、それはありません。

\int_{0}^{\infty} x f (x) d x

$\int_0^\infty xf(x) dx$

— Glen_b-2015

期待値を計算する方法を学びたいし、いくつかの簡単な方法を知りたいので、モーメント生成関数（mgf）を使用して楽しみます

ϕ (t) = E [e^{t X}] .

$\phi(t) = E[e^{tX}].$

この方法は、分布関数またはその密度が指数自体として指定されている場合に特に効果的です。この場合、実際に観察した後に統合を行う必要はありません

t^{2} / 2 - {(x - t)}^{2} / 2 = t^{2} / 2 + (- x^{2} / 2 + t x - t^{2} / 2) = - x^{2} / 2 + t x,

$t^2/2 -\left(x - t\right)^2/2 = t^2/2 + (-x^2/2 + tx - t^2/2) = -x^2/2 + tx,$

で標準正規密度関数を書き込み、なぜならとして（定数を値があなたが知る必要がない）、このようにそのMGFを書き換えるのを許可 $x$ $C e^{-x^2/2}$ $C$

ϕ (t) = C \int_{R} e^{t x} e^{- x^{2} / 2} d x = C \int_{R} e^{- x^{2} / 2 + t x} d x = e^{t^{2} / 2} C \int_{R} e^{- (x - t)^{2} / 2} d x .

$\phi(t) = C\int_\mathbb{R} e^{tx} e^{-x^2/2} dx = C\int_\mathbb{R} e^{-x^2/2 + tx} dx = e^{t^2/2}C\int_\mathbb{R} e^{-(x-t)^2/2} dx .$

右側では、項に従って、平均と単位分散、つまり正規分布の総確率の積分を認識します。したがって $e^{t^2/2}$ $t$ $1$

ϕ (t) = e^{t^{2} / 2} .

$\phi(t) = e^{t^2/2}.$

法線密度は、大きな値で非常に急速に小さくなるため、の値に関係なく収束の問題はありません。は明らかにで分析的ですつまり、それはそのMacLaurinシリーズと同じです。 $t$ $\phi$ $0$

ϕ (t) = e^{t^{2} / 2} = 1 + (t^{2} / 2) + \frac{1}{2} {(t^{2} / 2)}^{2} + \dots + \frac{1}{k!} {(t^{2} / 2)}^{k} + \dots .

$\phi(t) = e^{t^2/2} = 1 + (t^2/2) + \frac{1}{2} \left(t^2/2\right)^2 + \cdots + \frac{1}{k!}\left(t^2/2\right)^k + \cdots.$

ただし、はすべての値に対して完全に収束するため、次のように書くこともできます $e^{tX}$ $tX$

E [e^{t X}] = E [1 + t X + \frac{1}{2} (t X)^{2} + \dots + \frac{1}{n!} (t X)^{n} + \dots] = 1 + E [X] t + \frac{1}{2} E [X^{2}] t^{2} + \dots + \frac{1}{n!} E [X^{n}] t^{n} + \dots .

$E[e^{tX}] = E\left[1 + tX + \frac{1}{2}(tX)^2 + \cdots + \frac{1}{n!}(tX)^n + \cdots\right] \\ = 1 + E[X]t + \frac{1}{2}E[X^2]t^2 + \cdots + \frac{1}{n!}E[X^n]t^n + \cdots.$

2つの収束べき級数は、項ごとに等しい場合にのみ等しくなります（含む項を比較） $t^{2k} = t^n$

\frac{1}{(2 k)!} E [X^{2 k}] t^{2 k} = \frac{1}{k!} (t^{2} / 2)^{k} = \frac{1}{2^{k} k!} t^{2 k},

$\frac{1}{(2k)!}E[X^{2k}]t^{2k} = \frac{1}{k!}(t^2/2)^k = \frac{1}{2^kk!} t^{2k},$

意味する

E [X^{2 k}] = \frac{(2 k)!}{2^{k} k!}, k = 0, 1, 2, \dots

$E[X^{2k}] = \frac{(2k)!}{2^kk!},\ k = 0, 1, 2, \ldots$

（の奇数乗の期待値はすべてゼロです）。すべての正の整数ベキの期待値を一度に得ることは、ほとんどありません。 $X$ $X$

この手法のバリエーションは、ように、場合によっては同じようにうまく機能し、の範囲が適切に制限されていることを条件とする。mgf（およびそれに近い特性関数）は一般に非常に有用ですが、正規分布のWikipediaエントリなどの分布プロパティの表に表示されます。 $E[1/(1-tX)] = E[1 + tX + (tX)^2 + \cdots + (tX)^n + \cdots]$ $X$ $E[e^{itX}]$

— whuber
ソース