ネットワーク（グラフ）が「小さな世界」のネットワークであるかどうかを統計的にテストするにはどうすればよいですか？

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スモールワールド・ネットワークは、ほとんどのノードが互いに隣国ではありませんが、ほとんどのノードは、ホップまたは少ない工程数で、他のすべてのから到達することができる数学的なグラフの種類です。具体的には、スモールワールドネットワークは、ランダムに選択された2つのノード間の距離L（必要なステップ数）がネットワーク内のノード数Nの対数に比例して増加するネットワークとして定義されます。

$L \approx \log (N)$ $L \approx \log(N)$

LとNの間のこの関係は「経験則」です。私の研究では、小さな世界のグラフをより専門的に決定したいと思っています。自分のグラフが小さな世界のグラフであるかどうかをどのようにテストできますか？

スモール・ワールド現象は、スタンレー・ミルグラムと米国の人々の社会的ネットワークの平均経路長を調べる他の研究者が行ったいくつかの実験を構成しました。この研究は、人間の社会が短い経路長を特徴とする小さな世界タイプのネットワークであることを示唆しているという点で画期的でした。ミルグラムは自分でこの用語を使用していませんが、実験はしばしば「6つの分離度」というフレーズに関連付けられています。

前もって感謝します。

hypothesis-testing graph-theory networks

— ÜbelYildmar
ソース

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私はあなたの紙やあなたの背景の目的が何であるかわかりません。テストしたい実際のグラフはありますか？あなたはあなたのグラフの基本的な記述的測定をすることができます、どんなグラフライブラリもそうします（例えばPythonのnetworkxまたはRのigraph）。ネットワークが接続されているかどうか、直径、平均最短経路などを確認してください。グラフを生成している場合やコンテキストが異なる場合は、質問に回答するために詳細情報が必要だと思います。

— lrnzcig 2015年

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この対数関係の存在を評価するには、一連の値が必要だと思います。たとえば、時間とともに変化するグラフの一連のスナップショット。または、類似した（比較可能な）システム（たとえば、さまざまな規模のいくつかの企業のコンピュータネットワーク）に対応するさまざまなグラフのコレクション。

— Vincent Labatut、2015年

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TL; DR：

できません。

通常行われること

ネットワークが小さな世界かどうかを判断する現在の「最先端」では、次のアプローチを使用しています。

ネットワークの平均最短経路長とクラスタリング係数を計算します。 $L$ $C$
Erdős–RényiランダムグラフやMaslov–Sneppenランダムグラフなどのnullモデルネットワークの適切なアンサンブルを生成します。
このヌルモデルネットワークのアンサンブル全体の平均最短経路長の平均を計算します。同様に計算します。 $L_\text{r}$ $C_\text{r}$
正規化された最短経路計算し。および。 $λ := L/L_\text{r}$ $γ := C/C_\text{r}$
とが特定の基準（たとえば、と）を満たしている場合、そのネットワークをスモールワールドネットワークと呼びます。 $λ$ $γ$ $λ≈1$ $γ>1$

この背後にある考え方は、次のとおりです。

小さな世界のネットワークは、ある程度の空間構造を持つ必要があります。これは、高いクラスタリング係数によって反映されます。対照的に、ランダムネットワークはそのような構造を持たず、低いクラスタリング係数を持っています。
小さな世界のネットワークは、通信などに効率がよく、ランダムなネットワークに匹敵する最短のパス長を持っています。対照的に、純粋な空間ネットワークは、最短の経路長が高くなります。

問題があるところ

これは、平均最短パスがネットワークサイズにどのように対応するかについては何も述べていません。実際、実際のネットワークでは、ノード数が異なる同じネットワークなど存在しないため、引用した定義全体を適用することはできません。
と値に直接基づいていない小さな世界の他の定義を考えてみましょう。例： $λ$ $γ$

スモールワールドネットワークは、長距離接続が追加された空間ネットワークです。

その場合、と（または実際には他のネットワーク測定値）を使用するだけでそのような定義が満たされるかどうかについて、ロバストな意味を持たせることはできません。多くの研究の解釈は、すべてのネットワークが何らかの正当化されない何らかの再配線確率のワット-ストロガッツモデルの実現であると想定しています。実現がワット-ストロガッツモデルとは完全に異なる他の多くのネットワークモデルを知っています。 $λ$ $γ$
上記の方法は、測定誤差に対して堅牢ではありません。測定からネットワークを確立するときの小さなエラーは、たとえば、格子を小さな世界のネットワークのように見せるために十分です。たとえば、Bialonski et al。、Chaos（2010）およびPapo et al。、Frontを参照してください。ハム。神経科学。（2016）。実際、一部の経験的ネットワークは小規模な世界のネットワークではないと主張する研究は1つもありません。

付記：あなたは何を得ますか？

小さな世界であるネットワークから導き出せる有用な洞察は知りません。あるタイプのネットワークが特定のネットワークモデル（たとえば、ワッツストロガッツモデル）によって適切に記述されているという主張は、研究のモデル化には役立つかもしれませんが、それは単なる小さな世界性を主張するだけではありません。

^{完全な免責事項：上記の論文の1つは、私の直接の学問的地所からのものです。}

— Wrzlprmft
ソース

また、この回答で言及した方法論がリストされている論文を知っていますか。ネットワークのアンサンブルの作成、平均の計算など

— 最後の言葉

@TheLastWord：また、この回答で述べた方法論がリストされている論文を知っていますか。– Bialonski et alによる論文はこのアプローチを要約しており、関連する参考文献を含める必要があります。この私の論文も参照してください。

— Wrzlprmft

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スモールワールドネスインデックスは、パッケージqgraphの関数smallworldnessを使用して「R」で計算できます。

これは以下に基づいています：Humphries、MD、＆Gurney、K.（2008）。ネットワーク「スモールワールドネス」：正規ネットワーク同等性を決定するための定量的方法。PLoS One、3（4）、e0002051

論文より：

「S> 1の場合、ネットワークは「小さな世界」と見なされます-統計的にテストできる主張です。」

— スコットボタン
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