n個の均一に分布したr.vが与えられた場合、1つのrvのPDFをすべてのn個のr.vの合計で割ったものは何ですか？

私は次のタイプのケースに興味があります。合計が1でなければならない「n」個の連続確率変数があります。そのような個々のそのような変数のPDFは何でしょうか。したがって、場合、の分布に興味があり。ここで、、およびはすべて均一に分布しています。もちろん、この例では、平均は、平均は、Rでの分布をシミュレートするのは簡単ですが、PDFまたはCDFの実際の方程式はわかりません。X $n=3$ X1、X2X31/31/$\frac{X_1}{X_1+X_2+X_3}$$X_1, X_2$$X_3$$1/3$$1/n$

この状況は、Irwin-Hallディストリビューション（https://en.wikipedia.org/wiki/Irwin%E2%80%93Hall_distribution）に関連しています。Irwin-Hallだけがn個の一様確率変数の合計の分布ですが、私はn個の一様rvのいずれかの分布をすべてのn変数の合計で除算したいと考えています。ありがとう。

ドメイン内のブレークポイントは、やや乱雑になります。単純ですが面倒なアプローチは、最終的な結果まで構築することです。以下のために聞かせて及び次にY = X 2 + X 3、W = X 2 + X $n=3,$$Y=X_2 + X_3,$ T=1+W。Z=$W = {{X_2 + X_3} \over X_1},$$T = 1 + W.$$Z = {{1} \over {T}}={{X_1} \over {X_1 + X_2 + X_3}}.$

ブレークポイントは1であり 1及び2 2及び3およびとのために私があることが、完全なPDFを発見しましたW 、T 、1 / 3 1 / 2 Z $Y,$$W,$$T,$$1/3$$1/2$$Z.$

$$f(z) = \begin{cases} \ \ \ \ \ {{1} \over {(1-z)^2}} \ , & \text{if} \ {0} \leq z \leq {1/3} \\\\ {{3z^3-9z^2+6z-1} \over {3z^3(1-z)^2}} \ , & \text{if} \ {1/3} \leq z \leq {1/2} \\\\ \ \ \ \ \ \ \ {{1-z} \over {3z^3}} \ , & \text{if} \ {1/2} \leq z \leq {1} \end{cases}$$

cdfは、として見つかり

$$F(z) = \begin{cases} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {{z} \over {(1-z)}} \ , & \text{if} \ {0} \leq z \leq {1/3} \\\\ {{1} \over {2}}+{{-18z^3+24z^2-9z+1} \over {6z^2(1-z)}} \ , & \text{if} \ {1/3} \leq z \leq {1/2} \\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ {{5} \over {6}} + {{2z-1} \over {6z^2}} \ , & \text{if} \ {1/2} \leq z \leq {1} \end{cases}$$

LET。計算することにより 、の累積分布関数を見つけることができます 次に、Irwin-Hall pdfを区別して置き換え、目的のpdfを取得します。 $Y=\sum_{i=2}^n X_i$$X_1/\sum_{i=1}^n X_i$

$$\begin{align*} P(\frac{X_1}{\sum_{i=1}^n X_i} \leq t) &= P(X_1 \leq t\sum_{i=1}^n X_i) \\ &= P((1-t)X_1 \leq t\sum_{i=2}^n X_i) \\ &= P(X_1 \leq \frac t{1-t}Y)\\ &= \int_0^1 P(x_1 \leq \frac t{1-t}Y)\ dx_1\\ &= \int_0^1 (1-F_Y(\frac{1-t}{t}x_1))\ dx_1\\ &= 1-\int_0^1 F_Y(\frac{1-t}{t}x_1)\ dx_1\\ \end{align*}$$ $$\begin{align*} f(t) &= \int_0^1 f_Y(\frac{1-t}{t}x_1)\cdot \frac{x_1}{t^2}\ dx_1\\ &= \frac{1}{t^2}\int_0^{1\wedge \frac{(n-1)t}{1-t}} \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{1-t}{t}x_1\rfloor}\frac1{(n-2)!}(-1)^k\binom{n-1}k(\frac{1-t}{t}x_1-k)^{n-1} x_1\ dx_1 \end{align*}$$ ここから少し面倒になりますが、積分と総和を交換してから、置換（たとえば、）を実行して積分を評価し、 PDFの明示的な式。$u=\frac{tx_1}{1-t}-k$

想定

「N個の一様分布は合計で1になりません。」

これは私が始めた方法です（それは不完全です）：

を考え、少し表記を誤用してします。$Y = \sum_{i=1}^n X_i$$X=X_i$

およびについて考えます。$U = \frac{X}{Y}$$V =Y$

$$X=UV\\ Y=V$$

次に、変数の変換：

$$J = \begin{bmatrix} V & U\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

の同時確率関数はで与えられます。$(U,V)$

$f_{U,V}(u,v) = f_{X,Y}(uv,v)|J|$

ここで、および$X \sim U(0,1)$$Y \sim IrwinHall$

$$f_X(x) = \begin{cases} 1 & 0 \leq x\leq 1\\ 0 & otherwise \end{cases}$$

そして、

$$f_Y(y) = \frac{1}{2(n-1)!}\sum_{k=0}^n(-1)^k {n\choose k}(x-k)^{n-1} sign(x-k)$$

したがって、

$$f_{U,V}(u,v) = \begin{cases} \frac{1}{2(n-1)!}\sum_{k=0}^n(-1)^k {n\choose k}(uv-k)^{n-1} sign(uv-k) & 0 \leq uv \leq 1\\ 0 & otherwise \end{cases}$$

および$f_U(u) = \int f_{U,V}(u,v) dv$

合計にアーウィンホール分布があることがわかっているとします。Xが分布を持ち、がIrwin-Hall分布を持っているとき、質問がのpdf（またはCDF）を見つけるように変更されました。$U(0,1)$$\frac{X}{Y}$$U(0,1)$$Y$

まず、と pdfを見つける必要があります。$X$$Y$

してみましょう$Y_1=X_1\\Y_2=X_1+X_2\\Y_3=X_1+X_2+X_3$

その後

$X_1=Y_1\\X_2=Y_2-Y_1\\X_3=Y_3-Y_2-Y_1$

$\therefore$

$J=\begin{vmatrix} \frac{\partial X_1}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_1}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_1}{\partial Y_3} \\ \frac{\partial X_2}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_2}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_2}{\partial Y_3} \\ \frac{\partial X_3}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_3}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_3}{\partial Y_3} \end{vmatrix}=-1$

ため有するIIDされしたがって、$X_1, X_2, X_3$$U(0,1),$$f(x_1,x_2,x_3)=f(x_1)f(x_2)f(x_3)=1$

との共同分布は、$y_1,y_2,y_3$

$g(y_1,y_2,y_3)=f(y_1,y_2,y_3)|J|=1$

次は、私たちが出て統合させ、我々はの同時分布を得ることができとの同時分布すなわちと$Y_2$$Y_1$$Y_3$$X_1$$X_1+X_2+X_3$

whuberによって提案されたように、私は制限を変更しました

$$h(y_1,y_3)=\int_{y_1+1}^{y_3-1} g(y_1,y_2,y_3)dy_2=\int_{y_1+1}^{y_3-1} 1 dy_2=y_3-y_1-2 \tag{1}$$

これで、結合pdf が。つまり、結合pdfおよびは です。$X,Y$$X_1$$X_1+X_2+X_3$$y_3-y_1-2$

次にのPDFを見つけましょう$\frac{X}{Y}$

別の変換が必要です。

ましょう$Y_1=X\\Y_2=\frac{X}{Y}$

次に$X=Y_1\\Y=\frac{Y_1}{Y_2}$

その後

$J=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial y_1} & \frac{\partial x}{\partial y_2}\\ \frac{\partial y}{\partial y_1} & \frac{\partial y}{\partial y_2} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 0\\ \frac{1}{y_2} & -\frac{y_1}{y_2^2} \end{vmatrix}=-\frac{y_1}{y_2^2}$

上記のステップref （1）からの結合分布はすでにあります。$X,Y$

$\therefore$

$g_2(y_1,y_2)=h(y_1,y_3)|J|=(y_3-y_1-2)\frac{y_1}{y_2^2}$

次に、我々は統合我々はのPDFファイルを取得から、我々はのPDFファイルを取得$y_1$$y_2$$\frac{X}{Y}$

$$h_2(y_2)=\int_0^1(y_3-y_1-2)\frac{y_1}{y_2^2}dy_1=\frac{1}{y_2^2}(\frac{y_3}{2}-\frac{1}{3}-1)\tag{2}$$

これは PDF、つまり$X/Y$$\frac{X_1}{X1+X_2+X_3}$

まだ完成していません。（2）のは何ですか？$y_3$

最初の変換から、ことがます。$Y_3=X_1+X_2+X_3$

したがって、少なくともにはIrwin-Hall分布があることがます。$Y_3$

明示的な式を取得するために、 pdf のIrwin-Hallを（2）に接続できるでしょうか。または、グレンが示唆したように、ここからいくつかのシミュレーションを実行できますか？$n=3$