この複雑なサイコロ転動メカニックの結果の確率を計算する方法は？

この質問では、ロールプレイングゲームで成功する確率について尋ねます。ただし、質問とその回答では、ダイス力学の複雑さの一部はカバーされていません。特に、それはボット（1つの可能な結果）をまったくカバーしていません。

プレイヤーは、この質問に関係のないゲームのメカニックに基づいて、ダイスプールを持っています。サイコロプールは、プレイヤーが転がせる可変数のサイコロです。プレーヤーが振れるサイコロの数にはルールがありますが、これはこの質問には関係ありません。1（単一のダイス）から約15までの任意の数のダイスを指定できます。これをPと呼びます。

サイコロには、1から10までのラベルが付いた10の側面があります（ドメインの用語では「d10」と呼ばれます）。

サイコロを振るとき、目標数、または難易度数があります。この数値の生成方法はこの質問の範囲外ですが、3から9までの数値にすることができます。これに関するルールを以下に説明します。これをTと呼びます。

すべてのサイコロが振られたとき、結果を決定するためのいくつかのルールがあります。

• T以上のサイコロは成功と見なされます
• 1に等しいダイは成功から差し引かれます

そのような...

• 減算後（該当する場合）、T以上のダイが残っていない場合、結果は失敗です。
• 減算後（該当する場合）、T以上のダイが残っている場合、結果は成功です。
• サイコロがT以上でなく、少なくとも1つのサイコロが1の場合、それはボッチです。

特定のPプールとTターゲットについて、このシステムの成功、失敗、または障害の確率をどのように計算しますか？

時間の許す限り、段階的にこれに取り組む必要があります。私が完了する前に、誰かが完全な（そしておそらくより単純な）アプローチを提供することを期待しています。

まず、ボットを見てみましょう。

私はあなたの表記のいくつかを無視して、サイコロの数をと呼びます。$n$

サイコロがT以上でなく、少なくとも1つのサイコロが1の場合、それはボッチです。

最初に検討し$P(\text{no dice }\geq T) = (\frac{T-1}{10})^n$

ここで、考え$P(\text{no } 1| \text{no dice }\geq T) = (\frac{T-2}{T-1})^n$

したがって、$P(\text{botch}) = [1- (\frac{T-2}{T-1})^n]\cdot (\frac{T-1}{10})^n$

$\hspace{2cm} = \frac{(T-1)^n-(T-2)^n}{10^n}$

（私がエラーをしなかったと仮定して）

第二に、減算後の個々のダイの成功数の分布は、この投稿の方法で取り組むことができます。ただし、あなたは（つまり、全体的なロールは成功）の後にいるようです。終わり）。次の編集を見てみましょう。$P(\text{at least one success in total})$