回答:
これらのテクニックはさまざまなことを行います。
勾配降下法は最適化手法であるため、最大化が必要なすべての統計的手法（MLE、MAP）で一般的です。
モンテカルロシミュレーションは、分布からサンプリングし、サンプルの関数を評価して積分を計算するためのものです。そのため、期待値の計算を必要とする手法（ベイジアン推論、ベイズ仮説検定）で一般的に使用されます。
これらはどちらもアルゴリズムの巨大なファミリであるため、正確な答えを出すのは困難ですが...
勾配の上昇（または下降）は、最大（または最小）を求めたい場合に役立ちます。たとえば、確率分布のモード、または一部の損失関数を最小化するパラメーターの組み合わせを見つける場合があります。これらの極値を見つけるために必要な「パス」は、関数の全体的な形状について少し教えてくれますが、それは意図していません。実際、それがうまく機能すればするほど、極値以外のすべてについて知ることが少なくなります。
モンテカルロ法は、カジノと同様にランダム化に依存しているため、モンテカルロカジノにちなんで名付けられました。さまざまな方法で使用できますが、これらのほとんどは分布の近似に焦点を当てています。たとえば、マルコフ連鎖モンテカルロアルゴリズムは、複雑な確率分布から効率的にサンプリングする方法を見つけます。他のモンテカルロシミュレーションでは、可能な結果に対して分布が生成される場合があります。
他の人が説明するように、勾配降下/上昇は最適化を実行します。つまり、関数の最大値または最小値を見つけます。モンテカルロは確率的シミュレーションの方法です。つまり、ランダムサンプリングを繰り返して累積分布関数を近似します。連続分布の累積分布関数は実際には積分であるため、これは「モンテカルロ積分」とも呼ばれます。
勾配降下法とモンテカルロ法の共通点は、どちらも閉形式の解が存在しない問題で特に有用であることです。単純な微分を使用して、解析解が実行可能な場合はいつでも、凸関数の最大または最小点を見つけることができます。そのような解が存在しない場合は、勾配降下法などの反復法を使用する必要があります。モンテカルロシミュレーションでも同じです。基本的に単純な統合を使用してcdfを分析的に計算できますが、そのような閉じた形のソリューションが常に可能であるという保証はありません。この問題は、モンテカルロシミュレーションで再び解けるようになります。
シミュレーションには勾配降下法を、最適化にはモンテカルロ法を使用できますか？単純な答えはノーです。モンテカルロでは、サンプリングに確率的要素（分布）が必要であり、勾配降下法では確率的情報の問題を処理する手段がありません。ただし、シミュレーションと最適化を組み合わせて、単純な勾配降下法では解決できない非常に複雑な問題を解決できる、より強力な確率的最適化アルゴリズムを作成できます。この例は、シミュレーテッドアニーリングモンテカルロです。
この答えは部分的に間違っています。実際、モンテカルロ法と勾配降下法を組み合わせることができます。モンテカルロ法を使用して損失関数の勾配を推定できます。これは、勾配降下法でパラメーターを更新するために使用されます。勾配を推定するための一般的なモンテカルロ法はスコア勾配推定器です。これは、例えば強化学習で使用できます。Shakir Mohamed et al。による機械学習のモンテカルロ勾配推定（2019）を参照してください。詳細については。