どのレベルでテストは検定のプロポーションと数学的に同じですか？

背景：安全にスキップ-それは参照のため、そして質問を正当化するためにここにあります。

この論文の冒頭には次のように書かれています。

「カールピアソンの有名なカイ2乗偶発性検定は、正規分布に基づくz統計と呼ばれる別の統計から導出されます。の最も単純なバージョンは、同等のz検定と数学的に同一であることがわかります。すべての意図と目的において、「chi-squared」は「z-squared」と呼ばれます。1自由度の臨界値は、zの対応する臨界値の2乗です。$\chi^2$$\chi^2$

これはCVで複数回アサートされています（here、here、here、その他）。

そして確かに、はと同等であることを証明できます。$\chi^2_{1\,df}$$X^2$$X\sim N(0,1)$

レッツ言うとそのとの密度見つけ使用して方法を：$X \sim N(0,1)$$Y=X^2$$Y$$cdf$

$p(Y \leq y) = p(X^2 \leq y)= p(-\sqrt{y} \leq x \leq \sqrt{y})$。問題は、正規分布の密度を密接な形で統合できないことです。しかし、私たちはそれを表現することができます：

$$F_X(y) = F_X(\sqrt{y})- F_X(-\sqrt[]{y}).$$ デリバティブを取る：

$$f_X(y)= F_X'(\sqrt{y})\,\frac{1}{2\sqrt{y}}+ F_X'(\sqrt{-y})\,\frac{1}{2\sqrt{y}}.$$

通常のpdfの値$pdf$は対称であるため：

$f_X(y)= F_X'(\sqrt{y})\,\frac{1}{\sqrt{y}}$。これを等しくする$pdf$（現在は通常の$x$で$pdf$あろう$\sqrt{y}$に差し込まれるべき$e^{-\frac{x^2}{2}}$正常の一部$pdf$）。そして中に思い出すことが挙げられる$\frac{1}{\sqrt{y}}$終わりには：

$$f_X(y)= F_X'(\sqrt[]{y})\,\frac{1}{\sqrt[]{y}}= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{y}{2}}\, \frac{1}{\sqrt[]{y}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{y}{2}}\, y^{\frac{1}{2}- 1}$$

カイ二乗のpdfと比較してください：

$$f_X(x)= \frac{1}{2^{\nu/2}\Gamma(\frac{\nu}{2})}e^{\frac{-x}{2}}x^{\frac{\nu}{2}-1}$$

ので、のために DF、我々は正確に導出したカイ二乗を。 1つのpdは$\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$$1$$pdf$

さらに、prop.test()Rで関数を呼び出すと、を決定する場合と同じテストを呼び出します。$\chi^2$chisq.test()

質問：

したがって、これらすべてのポイントを取得できますが、次の2つの理由から、これら2つのテストの実際の実装にそれらがどのように適用されるのかまだわかりません。

1. Z検定は二乗されません。

2. 実際のテスト統計は完全に異なります。

の検定統計量$\chi^2$の値は次のとおりです。

$\chi^2 = \sum_{i=1}^{n} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} = N \sum_{i=1}^n p_i \left(\frac{O_i/N - p_i}{p_i}\right)^2$ ここで

$\chi^2$ =ピアソンの累積検定統計量。分布に漸近的に近づきます。 =タイプの観測値の数。 =観測の総数。 = =タイプの予想（理論）頻度。母集団内のタイプの割合はである という帰無仮説によって主張されます。 =テーブル内のセルの数。$\chi^2$$O_i$$i$$N$$E_i$$N p_i$$i$$i$$p_i$$n$

一方、検定の検定統計量は次のとおりです。$z$

$\displaystyle Z = \frac{\frac{x_1}{n_1}-\frac{x_2}{n_2}}{\sqrt{p\,(1-p)(1/n_1+1/n_2)}}$と、ここでおよびは「成功」の数であり、カテゴリカルの各レベルのサブジェクトの数変数、すなわちおよび。$\displaystyle p = \frac{x_1\,+\,x_2}{n_1\,+\,n_2}$$x_1$$x_2$$n_1$$n_2$

この式は二項分布に依存しているようです。

統計は明らかに異なっており、これらの二つの試験実際の検定統計量のため、ならびにに対して異なる結果をもたらしたp -値：5.8481ためとz検定のため（ありがとう、@ mark999）。テストのp値はで、z テストのp値はです。両側と片側で説明される違い：（感謝）。$\chi^2$2.4183$\small 2.4183^2=5.84817$$\chi^2$0.015590.0077$\small 0.01559/2=0.007795$

それで、彼らはどのレベルでそれらが同一であると言いますか？

列が2つの回答者グループであり、行が2つの回答「はい」と「いいえ」である2x2の頻度表を考えてみましょう。そして、周波数をグループ内の比率、つまり垂直プロファイルに変換しました：

      Gr1   Gr2  Total
Yes   p1    p2     p
No    q1    q2     q
      --------------
     100%  100%   100%
      n1    n2     N

通常の（Yates氏は修正されません）あなたはプロポーションの代わりに、その式の周波数、このようなルックスを置き換えた後、この表の：$\chi^2$

$$n_1[\frac{(p_1-p)^2}{p}+\frac{(q_1-q)^2}{q}]+n_2[\frac{(p_2-p)^2}{p}+\frac{(q_2-q)^2}{q}]= \frac{n_1(p_1-p)^2+n_2(p_2-p)^2}{pq}.$$

p = n 1 p 1 + n 2 p 2であることを忘れないでくださいつのプロファイルの加重平均プロファイルの要素および、およびそれを式にプラグインして、取得する$p= \frac{n_1p_1+n_2p_2}{n_1+n_2}$(p1,q1)(p2,q2)

$$...= \frac{(p_1-p_2)^2(n_1^2n_2+n_1n_2^2)}{pqN^2}$$

分子と分母の両方をで除算し、（p 1 − p 2 ）2を取得する$(n_1^2n_2+n_1n_2^2)$

$$\frac{(p_1-p_2)^2}{pq(1/n_1+1/n_2)}=Z^2,$$

「はい」応答の比率のz検定の2乗z統計。

したがって、2x2均質性カイ2乗統計量（および検定）は、2つの比率のz検定と同等です。特定の列のカイ2乗検定で計算されるいわゆる期待頻度は、（nグループごとの）加重平均垂直プロファイル（つまり「平均グループ」のプロファイル）にそのグループを掛けたものnです。したがって、カイ2乗は、この平均グループプロファイルからの2つのグループプロファイルのそれぞれの偏差をテストします。これは、グループのプロファイルの互いの違いをテストすること、つまりプロポーションのz検定です。

これは、変数の関連付けの測定値（カイ2乗）とグループの差の測定値（z検定統計量）の間のリンクの1つのデモンストレーションです。属性の関連付けとグループの違いは（多くの場合）同じことの2つの側面です。

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（@Antoniのリクエストにより、上記の最初の行に展開を表示）：

$n_1[\frac{(p_1-p)^2}{p}+\frac{(q_1-q)^2}{q}]+n_2[\frac{(p_2-p)^2}{p}+\frac{(q_2-q)^2}{q}] = \frac{n_1(p_1-p)^2q}{pq}+\frac{n_1(q_1-q)^2p}{pq}+\frac{n_2(p_2-p)^2q}{pq}+\frac{n_2(q_2-q)^2p}{pq} = \frac{n_1(p_1-p)^2(1-p)+n_1(1-p_1-1+p)^2p+n_2(p_2-p)^2(1-p)+n_2(1-p_2-1+p)^2p}{pq} = \frac{n_1(p_1-p)^2(1-p)+n_1(p-p_1)^2p+n_2(p_2-p)^2(1-p)+n_2(p-p_2)^2p}{pq} = \frac{[n_1(p_1-p)^2][(1-p)+p]+[n_2(p_2-p)^2][(1-p)+p]}{pq} = \frac{n_1(p_1-p)^2+n_2(p_2-p)^2}{pq}.$