ベイズ因子の更新

ベイズ因子は、仮説のベイズ検定とベイジアンモデルの選択で、2つの周辺尤度の比によって定義されます：iidサンプルとそれぞれのサンプリング密度と、対応するおよび場合、2つのモデルを比較するためのベイズ係数は 本私は現在検討していますが、その奇妙な文がベイズ因子上記$(x_1,\ldots,x_n)$$f_1(x|\theta)$$f_2(x|\eta)$$\pi_1$$\pi_2$

$$\mathfrak{B}_{12}(x_1,\ldots,x_n)\stackrel{\text{def}}{=}\frac{m_1(x_1,\ldots,x_n)}{m_2(x_1,\ldots,x_n)}\stackrel{\text{def}}{=}\frac{\int \prod_{i=1}^n f_1(x_i|\theta)\pi_1(\text{d}\theta)}{\int \prod_{i=1}^n f_2(x_i|\eta)\pi_2(\text{d}\eta)}$$ $\mathfrak{B}_{12}(x_1,\ldots,x_n)$は、「個々のもの[ベイズ係数]を掛け合わせることによって形成されます」（p.118）。これは分解 が、による更新として、この分解には計算上の利点がないようですは、元の計算と同じ計算量を必要とします $$\begin{align*}\mathfrak{B}_{12}(x_1,\ldots,x_n)&=\frac{m_1(x_1,\ldots,x_n)}{m_2(x_1,\ldots,x_n)}\\&=\frac{m_1(x_n|x_1,\ldots,x_{n-1})}{m_2(x_n|x_1,\ldots,x_{n-1})}\times \frac{m_1(x_{n-1}|x_{n-2},\ldots,x_1)}{m_2(x_{n-1}|x_{n-2},\ldots,x_1)}\times\cdots\\&\qquad\cdots\times\frac{m_1(x_1)}{m_2(x_1)}\end{align*}$$ $$\frac{m_1(x_n|x_1,\ldots,x_{n-1})}{m_2(x_n|x_1,\ldots,x_{n-1})}$$ $$\frac{m_1(x_1,\ldots,x_n)}{m_2(x_1,\ldots,x_n)}$$ 外の人工おもちゃの例。

質問：ベイズ係数をからに 更新する一般的で計算効率の高い方法はありますか辺縁全体および 再計算する必要はありませんか？$\mathfrak{B}_{12}(x_1,\ldots,x_n)$$\mathfrak{B}_{12}(x_1,\ldots,x_{n+1})$$m_1(x_1,\ldots,x_n)$$m_2(x_1,\ldots,x_n)$

私の直感は、ベイズ係数一度に1つずつ新しい観測値に推定することに沿って進むパーティクルフィルター以外に、この質問に答える自然な方法はないということです。$\mathfrak{B}_{12}(x_1,\ldots,x_n)$

おそらく、ベイズ係数の再帰方程式の目的は、データポイントのベイズ係数を既に計算していて、さらに1つのデータポイントでこれを更新できるようにする場合です。事後関数がわかっている限り、前のデータベクトルの周辺を再計算せずにこれを行うことが可能であるように見えます。この関数の形式を知っていると（そして質問のようにIIDデータを仮定すると）、予測密度は次のように書くことができます。$n$$\pi_n$

$$\begin{equation} \begin{aligned} m(x_{n+1} | x_1,...,x_n) &= \int \limits_\Theta f(x_{n+1}|\theta) \pi_n(d \theta | x_1,...,x_n). \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

したがって、次のようになります。

$$\begin{equation} \begin{aligned} m(x_1,...,x_{n+1}) &= m(x_1,...,x_n) \int \limits_\Theta f(x_{n+1}|\theta) \pi_n(d \theta | x_1,...,x_n). \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

ベイズ因子を介して2つのモデルクラスを比較すると、再帰方程式が得られます。

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathfrak{B}_{12}(x_1,...,x_{n+1}) &= \mathfrak{B}_{12}(x_1,...,x_{n}) \cdot \frac{\int _{\Theta_1} f(x_{n+1}|\theta) \pi_{1,n}(d \theta | x_1,...,x_n)}{\int _{\Theta_2} f(x_{n+1}|\theta) \pi_{2,n}(d \theta | x_1,...,x_n)}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

これにはまだパラメーターの範囲での統合が含まれるため、指定した初期式を介してベイズ係数を再計算するだけの計算上の利点はないように見えるという見解には同意します。それでも、前のデータベクトルの周辺を再計算する必要がないことがわかります。（代わりに、各モデルクラスの下で、以前のデータを条件とする新しいデータポイントの予測密度を計算します。）あなたと同じように、この積分式が簡単に単純化されない限り、これの計算上の利点は実際にはわかりません。いずれにせよ、ベイズ係数を更新するための別の式が得られると思います。