ポイントプロセスの混合と分割

左側の次の図では、密度（強度）が異なるポイントプロセスの2つの実現 $\lambda_1$そしては、所属する領域の中心に一致するように混合され、強度中央にポイントプロセスを構築します。次に、ランダムに選択されたポイントは、右側に示されているように、そこから抽出された2つのセットです。 質問： です？そして、ですか？ 左側の2つがポアソンPPである場合、中央の1つはポアソンPPですか？ 右側の2つはどうですか？$\lambda_2$$\lambda$

$\lambda=\lambda_1+\lambda_2$$\lambda=\lambda_3+\lambda_4$

この質問に答えるには、少し背景と記法が必要です。一般的な用語では、$N$ 平面内のポイントプロセスを示します。つまり、ボレルセットの場合、 $A$、飛行機の中で、 $N(A)$ある値の整数（を含むが$+\infty$）ランダム変数、ポイントの数をカウントします $A$。また、$A \mapsto N(A)$ある測定地点プロセスの各実現のために$N$。

ポイントプロセスに関連付けられているのは、期待値です。

$$A \mapsto \mu(A) := E(N(A))$$ 期待は常に明確に定義されているので、 $N(A) \geq 0$、 だけど、たぶん $+\infty$。それを検証する演習として残します$\mu$再びメジャーです。技術的な問題を回避するために、$\mu(\mathbf{R}^2) < \infty$、これは、プロセスが、OPが投稿した図のボックスなどの有界セットにのみ存在する場合にも妥当です。それは意味します$N(A) < \infty$ すべては $A$。

以下の定義と観察が続きます。

• と言う $N$持っている強さを $\lambda$ もし $\mu$ 密度があります $\lambda$ ルベーグ測度について、つまり $$\mu(A) = \int_A \lambda(x) \mathrm{d}x.$$
• もし $N_1$ そして $N_2$重ね合わせを合計として定義する2点プロセスです$N_1 + N_2$。これは、1つのポイントパターンを他のパターンの上に重ねることと同じです。
• もし $N_1$ そして $N_2$ 強度のある2点プロセス（独立または非独立） $\lambda_1$ そして $\lambda_2$ 重ね合わせには強度があります $\lambda_1 + \lambda_2$。
• もし $N_1$ そして $N_2$ある独立した後、重ね合わせがポアソン過程であるポアソン過程。これを示すために、私たちはまずそれを観察します$N_1(A) + N_2(A)$ は、ポアソン分布の畳み込みプロパティからのポアソンであり、その場合 $A_1, \ldots, A_n$ある互いに素その後、$N_1(A_1) + N_2(A_1), \ldots, N_1(A_n) + N_2(A_n)$ある独立したので、$N_1$ そして $N_2$独立しており、ポアソン自身が処理します。これら2つのプロパティは、ポアソンプロセスを特徴付けます。

まとめI： ポイントプロセスが強度を持つ2つのポイントプロセスの合計または重ね合わせである場合は常に、重ね合わせは強度として強度の合計を持つことを示しました。さらに、プロセスが独立したポアソンである場合、重ね合わせはポアソンです。

質問の残りの部分については、 $N(\{x\}) \leq 1$ すべてのシングルトンセットについて $\{x\}$。次に、ポイントプロセスは単純と呼ばれます。強度のあるポアソンプロセスは単純です。単純なポイントプロセスの場合、$N$ なので

$$N = \sum_i \delta_{X_i},$$ つまり、ランダムな点でのディラック測定の合計として。もし$Z_i \in \{0,1\}$ベルヌーイ確率変数であり、ランダム間引きは単純なポイントプロセスです $$N_1 = \sum_i Z_i \delta_{X_i}.$$ それは非常に明らかです $$N_2 = \sum_i (1-Z_i) \delta_{X_i}$$ それはそれを保持します $N = N_1 + N_2$。iidのランダムな間引きを行うと、$Z_i$はすべて独立しており、同じように成功確率で分布しています $p$、と言って
$$N_1(A) \mid N(A) = n \sim \text{Bin}(n, p).$$ これから、 $$E(N_1(A)) = E \big(E(N_1(A) \mid N(A))\big) = E(N(A)p) = p \mu(A).$$

もし $N$ ポアソンプロセスである $A_1, \ldots, A_n$ その後 $N_1(A_1), \ldots, N_1(A_n)$ 再び独立しており、

$$\begin{array}{rcl} P(N_1(A) = k) & = & \sum_{n=k}^{\infty} P(N_1(A) = k \mid N(A) = n)P(N(A) = n) \\ & =& e^{-\mu(A)} \sum_{n=k}^{\infty} {n \choose k} p^k(1-p)^{n-k} \frac{\mu(A)^n}{n!} \\ & = & \frac{(p\mu)^k}{k!}e^{-\mu(A)} \sum_{n=k}^{\infty} \frac{((1-p)\mu(A))^{n-k}}{(n-k)!} \\ & = & \frac{(p\mu(A))^k}{k!}e^{-\mu(A) + (1-p)\mu(A)} = e^{-p\mu(A)}\frac{(p\mu(A))^k}{k!}. \end{array}$$ これは $N_1$ポアソン過程です。同様に、$N_2$ ポアソンプロセスです（平均測度 $(1-p)\mu$）。残りはそれを示すことです$N_1$ そして $N_2$実際、独立しています。ここで手を抜いて、実際にそれを示すだけで十分であると言います$N_1(A)$ そして $N_2(A)$ 任意のために独立しています $A$、これは $$\begin{array}{rcl} P(N_1(A) = k, N_2(A) = r) & = & P(N_1(A) = k, N(A) = k + r) \\ & = & P(N_1(A) = k \mid N(A) = k + r) P(N(A) = k + r) \\ & = & e^{-\mu(A)} {k+r \choose k} p^k(1-p)^{r} \frac{\mu(A)^{k+r}}{(k+r)!} \\ & = & e^{-p\mu(A)}\frac{(p\mu(A))^k}{k!} e^{-(1-p)\mu(A)}\frac{((1-p)\mu(A))^r}{r!} \\ & = & P(N_1(A) = k)P(N_2(A) = r). \end{array}$$

Summary II: We conclude that i.i.d. random thinning with success probability $p$ of a simple point process, $N$, with intensity $\lambda$ results in two simple point processes, $N_1$ and $N_2$, with intensities $p\lambda$ and $(1-p)\lambda$, respectively, and $N$ is the superposition of $N_1$ and $N_2$. If, moreover, $N$ is a Poisson process then $N_1$ and $N_2$ are independent Poisson processes.

It is natural to ask if we could thin independently without assuming that the $Z_i$'s are identically distributed and obtain similar results. This is possible, but a little more complicated to formulate, because the distribution of $Z_i$ then has to be linked to the $X_i$ somehow. For instance, $P(Z_i = 1 \mid N) = p(x_i)$ for a given function $p$. It is then possible to show the same result as above but with the intensity $p\lambda$ meaning the function $p(x)\lambda(x)$. We skip the proof. The best general mathematical reference covering spatial point processes is Daley and Vere-Jones. A close second covering statistics and simulation algorithms, in particular, is Møller and Waagepetersen.