場合はと独立した事象であり、と独立したイベントです、どのように私がいることを示しますと独立していますか？

10

ましょうと独立したイベントも、と聞かせてと独立したイベントも。とも独立したイベントであることをどのように示すのですか？ $A$ $B$ $A$ $C$ $A$ $B\cup C$

独立したイベントの定義によれば、とは、場合に限り、独立してい $A$ $B\cup C$

P (A \cap (B \cup C)) = P (A) P (B \cup C) .

$P(A\cap (B\cup C)) = P(A)P(B\cup C).$

以来、ととと独立している、私が知っている $A$ $B$ $A$ $C$

P (A \cap B) = P (A) P (B) and P (A \cap C) = P (A) P (C) .

$P(A\cap B) = P(A)P(B) \quad\text{and}\quad P(A\cap C)=P(A)P(C).$

しかし、私はこれを解決する方法がわかりません。私が知っている確率のルールを適用しようとしましたが、どこにも行きませんでした。

probability self-study independence

— ジャン
ソース

[self-study]タグを追加してwikiを読んでください。

— ガン-モニカの復活

3

ここで問題が発生しただけでは少しがっかりします。「自習」タグが存在するかどうかに関係なく、私は誰もがそれが私にどのように答えたのか、そしてそれがどのようなものにつながるのかを知っています。後者はほとんど常により意味があります。

— jlimahaverford 2015

私はあなたに賛成票を投じましたが、今では私のソリューションとjtobinのソリューションの両方に欠けているものがあるのかと思っています。どちらも、A、B、およびCは相互に独立していると想定しているため、正しくない場合があります。

— ディープノース

うーん。それは良い点です。私は実際にこれを自分で解決します。

— jlimahaverford 2015

3

特に失望しているのは、この質問には3つの誤った回答があったことですが、2つはまだ変更されている可能性があります。公正なコインの2つの独立したトスを考えて、とを、それぞれ1回目と2回目のトスで表と裏になり、となるイベントとするたった1回のトスでヘッズになったイベント。したがって、、なので、は独立しています。。ただし、、つまりおよび

B = {H T, H H}

$B= \{HT,HH\}$

C = {H T, T T}

$C=\{HT,TT\}$

A = {H T, T H}

$A=\{HT,TH\}$

P (A) = P (B) = P (C) = \frac{1}{2}

$P(A)=P(B)=P(C)=\frac 12$

P (A \cap B) = P (A \cap C) = \frac{1}{4}

$P(A\cap B)=P(A\cap C)=\frac 14$

A, B

$A,B$

A, C

$A,C$

P (B \cup C) = \frac{3}{4}, P (A \cap (B \cup C) = \frac{1}{4} \neq P (A) P (B \cup C)

$P(B\cup C)=\frac 34,P(A\cap(B\cup C)=\frac 14 \neq P(A)P(B\cup C)$

A

$A$

B \cup C

$B\cup C$ 依存しています。

— Dilip Sarwate、2015

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ましょうと独立したイベントも、と聞かせてと独立したイベントも。とも独立したイベントであることをどのように示すのですか？ $A$ $B$ $A$ $C$ $A$ $B\cup C$

この結果はこれらのプロパティを楽しんでいるすべてのには当てはまらないため、表示できません。次の反例を考えてみましょう。 $A, B, C$

公正なコインの2つの独立したトスを考えてみましょう。ましょおよび第一及び第二の投げは、それぞれヘッドやテールをもたらしたことをイベントです。レッツ正確に一つのトスが頭の中にもたらしたことをイベントになります。 $B=\{HT,HH\}$ $C=\{HT,TT\}$ $A=\{HT,TH\}$

次に、、なので、とはそのまま独立したイベントですおよび独立したイベント。実際、とも独立したイベントです（つまり、、、およびはペアごとの独立したイベントです）。ただし、したがって、とは依存イベントです。 $P(A)=P(B)=P(C) = \frac 12$ $P(A\cap B) = P(A\cap C) = \frac 14$ $A$ $B$ $A$ $C$ $B$ $C$ $A$ $B$ $C$

P (A) = \frac{1}{2} and P (B \cup C) = \frac{3}{4} while P (A \cap (B \cup C)) = \frac{1}{4} \neq P (A) P (B \cup C)

$P(A) = \frac 12 ~ \text{and}~ P(B\cup C)=\frac 34 ~ \text{while}~ P(A\cap(B\cup C)) =\frac 14 \neq P(A)P(B\cup C)$

A

$A$

B \cup C

$B\cup C$

反例を片付けて、および独立したイベントを作成するために必要な条件を考えてみましょう。他の答えはすでに私たちのために仕事をしています。我々は、それが持っているなので、はと等しくなります証明に必要ですその及び独立事象である）を正確に $A$ $B\cup C$

\begin{aligned} P (A \cap (B \cup C)) & = P ((A \cap B) \cup (A \cap C)) \\ = P (A \cap B) + P (A \cap C) - P (((A \cap B) \cap (A \cap C)) \\ = P (A) P (B) + P (A) P (C) - P (A \cap B \cap C) \\ = P (A) (P (B) + P (C) - P (B \cap C)) + (P (A) P (B \cap C) - P (A \cap B \cap C)) \\ = P (A) P (B \cup C) + [P (A) P (B \cap C) - P (A \cap B \cap C)] \end{aligned}

$\begin{align} P(A\cap (B\cup C)) &= P((A\cap B) \cup (A\cap C))\\ &= P(A\cap B) + P(A\cap C) - P(((A\cap B) \cap (A\cap C))\\ &= P(A)P(B) + P(A)P(C) - P(A\cap B \cap C)\\ &= P(A)\left(P(B) + P(C) - P(B\cap C)\right) + \left(P(A)P(B\cap C) - P(A\cap B \cap C)\right)\\ &= P(A)P(B\cup C) + \left[P(A)P(B\cap C) - P(A\cap B \cap C)\right] \end{align}$

P (A \cap (B \cup C))

$P(A\cap (B\cup C))$

P (A) P (B \cup C)

$P(A)P(B \cup C)$

A

$A$

B \cup C

$B\cup C$

P (A) P (B \cap C)

$P(A)P(B\cap C)$ は、と等しくなります。つまり、とは独立したイベントです。

P (A \cap B \cap C) = P (A \cap (B \cap C))

$P(A\cap B \cap C) = P(A\cap (B\cap C))$

A

$A$

B \cap C

$B\cap C$

$A$ 及びたびに独立したイベントである及び独立事象です。 $B\cup C$ $A$ $B\cap C$

とが独立しているかどうかは、当面の問題には関係がないことに注意してください。上記の反例では、とは独立したイベントでしたが、およびは独立したイベントではありませんでした。もちろん、Deep Northによって指摘されているように、、、およびが相互に独立したイベントである場合（と独立だけでなく、を保持）、次におよび $B$ $C$ $B$ $C$ $A = \{HT, TH\}$ $B\cap C = \{HT\}$ $A$ $B$ $C$ $B$ $C$ $P(A\cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$ $A$ $B\cap C$ 確かに独立したイベントです。相互独立、及びである十分条件。 $A$ $B$ $C$

実際、とが独立したイベントである場合、とが独立しているという仮説とともに、と独立したイベントも同様に、がのイベントすべてに独立していることを示すことができます、すなわち、全てののイベント -代数によって生成されたと ; これらのイベントの1つはです。 $A$ $B\cap C$ $A$ $B$ $A$ $C$ $A$ $4$ $B\cap C, B\cap C^c, B^c\cap C, B^c\cap C^c$ $16$ $\sigma$ $B$ $C$ $B\cup C$

— ディリップ・サルワテ
ソース

フレーム化された条件を保持する簡単な方法は、とばらばらにすることです。それ以降は、です。

B

$B$

C

$C$

P (B \cap C) = 0

$P(B\cap C)=0$

— ミゲル

はい、それは別である@Miguel 十分条件とただの相互の独立性と同様に、独立した事象であることをあり、十分な私の答えが言うように条件。私の答えは、とが独立したイベントになるために必要な条件についてです。

A

$A$

B \cup C

$B\cup C$

A, B, C

$A,B,C$

A

$A$

B \cup C

$B\cup C$

— Dilip Sarwate、2018年

6

2つのこと。

1）イベント書き換えるあなたが知っているいくつかの方法がある。直感的に、A、BとA、Cの相互作用はわかりますが、B、Cの相互作用はわかりません。だから、私たちの邪魔になっています。 $A \cap (B\cup C)$ $(B\cup C)$

2）を書き換える方法を知っていますか？ $P(X\cup Y)$

すぐに回答が得られない場合でも、これらの質問に対する回答で回答を編集してください。そうすれば、そこから進みます。

編集する

これをチェックしてください。私には反証があります。

サイコロを振ってXを取得します。

A：X <4

B：{1、4}のX

C：{1、5}のX

— jlimahaverford
ソース

1

私はこの答えで行くでしょう！自分で解決してみてください！答えを見ただけではあまり得られない！

— Gumeo 2015

2

Dilip Sarwateのコメントによると、これらのイベントは明らかに独立していない。

私が独立性を証明しようとする典型的な方法は次のように進みます：

\begin{aligned} P (A, B \cup C) & = P ({A, B} \cup {A, C}) & distributive property \\ = P (A, B) + P (A, C) - P (A, B, C) & sum rule \end{aligned}

$\begin{align*} P(A, B \cup C) & = P(\{A, B\} \cup \{A, C\}) & \text{distributive property} \\ & = P(A, B) + P(A, C) - P(A,B,C) & \text{sum rule} \end{align*}$

ここで、プロパティを確立するために、式からを因数分解します。これは証明するのに十分です。独立。ただし、ここでこれを実行しようとすると、行き詰まります。 $P(A)$ $P(A, B \cup C) = P(A)P(B \cup C)$

P (A, B) + P (A, C) - P (A, B, C) = P (A) {P (B) + P (C) - P (B, C | A)}

$P(A, B) + P(A, C) - P(A,B,C) = P(A) \{ P(B) + P(C) - P(B,C \, | \, A) \}$

括弧で囲まれた式はほぼであり、目標に到達することに注意してください。しかし、さらに削減できる情報はありません。 $P(B) + P(C) - P(B,C)$ $P(B,C \, | \, A)$

私の最初の回答では、と誤って主張していたため、証明を要求された結果は真であると誤って主張していたことに注意してください。失敗するのは簡単です！ $P(B, C \, | \, A) = P(A)P(B, C)$

しかし、この方法で独立性を実証することが難しいことがわかった場合、次の良いステップは反例、つまり独立性の主張を偽るものを探すことです。OPに関するDilip Sarwateのコメントには、まさにそのような例が含まれています。

— jtobin
ソース

2行目のが3行目のと等しいのはなぜですか？ことを与えられていないから独立してだけの、、およびの _separately。

P (A, B, C)

$P(A,B,C)$

P (A) P (B, C)

$P(A)P(B,C)$

A

$A$

B \cap C

$B\cap C$

B

$B$

C

$C$

— Dilip Sarwate、2015

したがって、編集後、だらしのない派生だけですが、主張された結果自体は正しいです。つまり、OPは証明を任されているので、は確かに独立していますか？それとも、導出は、が独立しているという主張を証明しないのですか？

A

$A$

B \cup C

$B\cup C$

A

$A$

B \cup C

$B\cup C$

— Dilip Sarwate、2015

@DilipSarwate私の派生は主張を証明していません。私の編集でも、これを明確にするために、誤ったアサーションをに変更しました。より明確になるように回答をもう一度編集します。

=

$=$

\neq

$\neq$

— jtobin

正解です。回答を修正してください。

— Dilip Sarwate、2015

1

$P[A \cap(B \cup C)]=P[(A \cap B) \cup (A \cap C)]=P(A \cap B)+P(A \cap C)-P[( A \cap B)\cap (A \cap C)]=P(A)*P(B)+P(A)*P(C)-P(A \cap B \cap C)$

$P(A)*P(B \cup C)=P(A)[P(B)+P(C)-P(B \cap C)]=P(A)*P(B)+P(A)*P(C)-P(A)*P( B \cap C)$

ここで、を表示する必要があります $P(A \cap B \cap C)=P(A)*P( B \cap C)$

場合互いに独立しており、結果は明白です。 $A, B,C$

条件をしている間と独立しており、と独立しているとは独立して保証するものではありませんと $A$ $B$ $A$ $C$ $B$ $C$

したがって、OPは質問の状態を再検討する必要がある場合があります。

— 深い北
ソース

あなたには第二の長い方程式、あなたが持ってあなたはその中間の表現を掛けたときに用語を。しかし、代わりにと記述しました。つまり、とを同等と見なし、実際にはとは独立しています。何故ですか？

- P (A) P (B \cap C)

$-P(A)P(B\cap C)$

- P (A \cap B \cap C)

$-P(A\cap B \cap C)$

P (A) P (B \cap C)

$P(A)P(B\cap C)$

P (A \cap B \cap C)

$P(A\cap B \cap C)$

A

$A$

B \cap C

$B\cap C$

— Dilip Sarwate、2015

おかげで、それは正しくないと思われる独立した想定です。

— ディープノース

-1

P {A（B + C）} = P（AB + BC）= P（AB）+ P（AC）-P（ABC）= P（A）P（B）+ P（A）P（C）- P（A）P（BC）[A、B、Cは相互に独立しています] = P（A）[P（B）+ P（C）-P（BC）] = P（A）P（B + C）したがって、AとB + Cは独立しています。

— スリシュティモンダル
ソース

場合はと 独立した事象であり、と独立したイベントです、どのように私がいることを示しますと 独立していますか？

場合はと独立した事象であり、と独立したイベントです、どのように私がいることを示しますと独立していますか？