GLMでの正準リンク関数の計算

正準リンク関数は、指数関数ファミリーの自然パラメーターに由来すると考えました。ファミリー 場合、は正準リンク関数です。取るベルヌーイ分布の一例として、我々は つまり、正規リンク関数$g(\cdot)$

$$f(y,\theta,\psi)=\exp\left\{\frac{y\theta-b(\theta)}{a(\psi)}-c(y,\psi)\right\}$$ $\theta=\theta(\mu)$ $$P(Y=y)=\mu^{y}(1-\mu)^{1-y}=\exp\left\{y\log\frac{\mu}{1-\mu}+\log{(1-\mu)}\right\}$$ $$g(\mu)=\log\frac{\mu}{1-\mu}$$

しかし、このスライドを見ると、 g '（\ mu）= \ frac {1} {V（\ mu）} であると主張して

$$g'(\mu)=\frac{1}{V(\mu)}$$ います。この特定の分布（およびポアソン分布などの他のいくつかの分布）は簡単に確認できます一般的なケースの等価性がわかりません。誰かがヒントを与えることはできますか？ありがとう〜

ベルヌーイ変数の分散関数は$V(\mu) = \mu(1-\mu)$です。正規リンクで簡単に確認$g(\mu) = \log \frac{\mu}{1-\mu} = \log \mu - \log(1-\mu)$ then

$$g'(\mu) = \frac{1}{\mu} + \frac{1}{1-\mu} = \frac{1 - \mu + \mu}{\mu(1-\mu)} = \frac{1}{\mu(1-\mu)} = \frac{1}{V(\mu)}.$$

一般的なケースでは、定義から導き出され 例えばMcCullaghとNelderの 28-29ページを参照してください。カノニカルリンク我々は、及び分散関数はとして定義されの点で、なる 恒等式を 微分すると、

$$E(Y) = \mu = b'(\theta) \quad \text{ and } \quad \text{Var}(Y) = b''(\theta) a(\psi),$$ $g$$\theta = g(\mu) = g(b'(\theta))$$b''(\theta)$$\mu$ $$V(\mu) = b''(g(\mu)).$$ $\theta = g(b'(\theta))$ $$1 = g'(b'(\theta)) b''(\theta) = g'(\mu) V(\mu),$$

準尤度関数の構築では、分散関数で与えられる平均と分散の関係から始めるのが自然です。この文脈では、の逆導関数はリンク関数の一般化として解釈できます。たとえば、325ページの（ログ）準尤度の定義（式9.3）を参照してください。 ）McCullaghとNelderで。 $V$$V(\mu)^{-1}$