GLMでの正準リンク関数の計算


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正準リンク関数は、指数関数ファミリーの自然パラメーターに由来すると考えました。ファミリー 場合、は正準リンク関数です。取るベルヌーイ分布の一例として、我々は つまり、正規リンク関数g()

f(y,θ,ψ)=exp{yθb(θ)a(ψ)c(y,ψ)}
θ=θ(μ)
P(Y=y)=μy(1μ)1y=exp{ylogμ1μ+log(1μ)}
g(μ)=logμ1μ

しかし、このスライドを見ると、 g '(\ mu)= \ frac {1} {V(\ mu)} であると主張して

g(μ)=1V(μ)
います。この特定の分布(およびポアソン分布などの他のいくつかの分布)は簡単に確認できます一般的なケースの等価性がわかりません。誰かがヒントを与えることはできますか?ありがとう〜

回答:


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ベルヌーイ変数の分散関数はV(μ)=μ(1μ)です。正規リンクで簡単に確認g(μ)=logμ1μ=logμlog(1μ) then

g(μ)=1μ+11μ=1μ+μμ(1μ)=1μ(1μ)=1V(μ).

一般的なケースでは、定義から導き出され 例えばMcCullaghとNelderの 28-29ページを参照してください。カノニカルリンク我々は、及び分散関数はとして定義されの点で、なる 恒等式を 微分すると、

E(Y)=μ=b(θ) and Var(Y)=b(θ)a(ψ),
gθ=g(μ)=g(b(θ))b(θ)μ
V(μ)=b(g(μ)).
θ=g(b(θ))
1=g(b(θ))b(θ)=g(μ)V(μ),

準尤度関数の構築では、分散関数で与えられる平均と分散の関係から始めるのが自然です。この文脈では、の逆導関数はリンク関数の一般化として解釈できます。たとえば、325ページの(ログ)準尤度の定義(式9.3)を参照してください。 )McCullaghとNelderでVV(μ)1


@NRHありがとうございます。実際、私はベルヌーイ分布の等価性を知っています。一般的なケースを考えています。参考までに、チェックします:)
ziyuang

@ziyuang、一般的なケースが含まれています。
NRH 2010年

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@NRH -ちょうどこの回答に追加し、平均及び分散式は方程式微分することにより導出することができるに対して両側に(または同等)。1次導関数は平均を与え、2次導関数は分散を与えます。f(y,θ,ψ)dy=1θμ
確率

ありがとうございました。:そして、私は別の参照リンク見つけたfedc.wiwi.hu-berlin.de/xplore/ebooks/html/spm/...
ziyuang
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