2回微分可能な対称分布考えます。次に、次の意味で歪んだ2番目の2 階微分可能分布F Z rigthを考えます。$\mathcal{F}_X$$\mathcal{F}_Z$

$$(1)\quad\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Z.$$

ここその結果バンZwet [0]の凸順序である（1 ）に相当します。$\preceq_c$$(1)$

$$(2)\quad F^{-1}_ZF_X(x)\text{ is convex $\forall x\in\mathbb{R}.$}$$

ここで、3番目の2 微分可能な分布F Yについて考えます。$\mathcal{F}_Y$

$$(3)\quad\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$$

私の質問は 、F Xと F Yの構成の観点から、F Z（上記で定義された3つすべて）を書き換えるために、分布と対称分布F Xを常に見つけられるかどうかです。$\mathcal{F}_Y$$\mathcal{F}_X$$\mathcal{F}_Z$$\mathcal{F}_X$$\mathcal{F}_Y$

$$F_Z(z)=F_YF_X^{-1}F_Y(z)$$

か否か？

編集：

たとえば、が形状パラメーター3.602349（対称になるように）のワイブル分布であり、F Zが形状パラメーター3/2（右に歪んでいるため）のワイブル分布である場合、次のようになります。$\mathcal{F}_X$$\mathcal{F}_Z$

$$\max_z|F_Z(z)-F_YF_X^{-1}F_Y(z)|\approx 0$$

$\mathcal{F}_Y$

$$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z,$$

• [0] van Zwet、WR（1979）。平均、中央値、モードII（1979）。Statistica Neerlandica。33巻、1号、1〜5ページ。

番号！

$g$$h=0$$g$$h$

$\mathcal{F}_X$$g$$g_X=0$$\mathcal{F}_Z$$g$$g_Z>0$$\mathcal{F}_Y$$g$$g_Y\leq g_Z$$h=0$

$$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$$

$g$$g=0$

$g_Z=0.5$

$$\min_{g_Y\leq g_Z}\max_z|F_Z(z)-F_YF^{-1}_XF_Y(z)|\approx0.005>0$$

$g_Y\approx g_Z/2$

• [0] g-and-hおよびJohnsonファミリーのHL MacGillivray Shapeプロパティ。通信。Statist.—理論手法、21（5）（1992）、pp。1233–1250

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編集：

ワイブルの場合、主張は真実です：

$\mathcal{F}_Z$$w_Z$$\mathcal{F}_Y$$\mathcal{F}_X$$w_Y$$w_X$

最初に、3つのワイブル分布は常に[0]の意味で順序付けできることに注意してください。

$$\mathcal{F}_X=\mathcal{F}_{-X}\implies w_X=3.602349.$$

さて、ワイブルについて：

$$F_Y(y)=1-\exp((-y)^{w_Y}),\;F_Y^{-1}(q)=(-\ln(1-q))^{1/w_Y},$$

そのため

$$F_YF_X^{-1}F_Y(z)=1-\exp(-z^{w_Y^2/w_X}),$$

以来

$$F_Z(z)=1-\exp(-z^{w_Z}).$$

したがって、設定することにより、クレームは常に満たすことができます。 $w_Y=\sqrt{w_Z/w_X}$

• [0] van Zwet、WR（1979）。平均、中央値、モードII（1979）。Statistica Neerlandica。33巻、1号、1〜5ページ。
• [1] Groeneveld、RA（1985）。ワイブル家の歪度。Statistica Neerlandica。40巻、第3号、135〜140ページ。