平均とサンプルサイズに関するOLS

与えられたモデル：

$$y = \beta_0 + \beta_1 \cdot f + u$$

ここで、はダミーで、女性の場合は、それ以外の場合はです。yは高さ（cm）です。サンプルサイズは、合計でです。さらにおよび。パラメータの推定値を計算します。$f$$=1$$0$$n_{female}=n_{male}=100 \rightarrow 200$$\bar{y}_{male} = 175$$\bar{y}_{female}=165$

私の試み：

よく知られた公式を使用する：

$$\boldsymbol{\hat{\beta}} = (\boldsymbol{X}'\boldsymbol{X})^{-1} \boldsymbol{X}'\boldsymbol{y}$$ 取得： $$\begin{bmatrix} 200 & 100 \\ 100 & 100 \\ \end{bmatrix} ^{-1} \begin{bmatrix} 170 \cdot 200 \\ 165 \cdot 200 \end{bmatrix}$$

最初に（\ boldsymbol {X} '\ boldsymbol {X}）^ {-1}の要素。Xは1のまとまりな$(\boldsymbol{X}'\boldsymbol{X})^{-1}$ので、サンプルには100の女性があり、合計で200の男性と女性があります。ため\ boldsymbol {X} '\ boldsymbol {Y} 、最初の要素は、170の『総平均』であり、第二は、女性の高さのちょうどサンプル平均です。私は「ダウンスケール」（\ boldsymbol {X} '\ boldsymbol {X}）^ {-1}していないため、両方とも200でスケーリングされています。$X$$\boldsymbol{X}'\boldsymbol{y}$$(\boldsymbol{X}'\boldsymbol{X})^{-1}$

正しいですか？私が尋ねるのは、（乗算するときの）解がいくつかの（非常に）奇数になるためです。

アプローチは正しいですが、わずかな数値エラーがあります：ではなく女性しかありません。男性と女性の平均身長は、以下を介して合計に変換できます$100$$200$

$$\text{Sum of male heights} = 100 \times 175$$

そして

$$\text{Sum of female heights} = 100 \times 165.$$

したがって、すべての高さの合計は

$$\text{Sum of all heights} = 100 \times 175 + 100\times 165 = 200 \times 170,$$

質問に示されているように。その結果、正規方程式は

$$\pmatrix{200 & 100 \\ 100 & 100}\pmatrix{\hat\beta_0 \\ \hat\beta_1} = \pmatrix{200\cdot170 \\ 100 \cdot165}$$

（右側にではない ）、ソリューションあり$165\cdot 200$

$$(\hat\beta_0, \hat\beta_1) = (175, -10).$$

かなり混乱しています。何をしない意味ですか？これらは残差ですか？もしそうなら、それから$u$

$\mathbf{X'X}$ =$\begin{bmatrix} 200 & 100 \\ 100 & 100 \end{bmatrix}$

以来

$\mathbf{X} = \frac{\partial{y}}{\partial\beta} = \left[\begin{array}{cccc|cccc} \frac{\partial{y_1}}{\partial\beta_1} & \frac{\partial{y_2}}{\partial\beta_1} & ... & \frac{\partial{y_{n_f}}}{\partial\beta_1} & \frac{\partial{y_{{n_f}+1}}}{\partial\beta_1} & \frac{\partial{y_{{n_f}+2}}}{\partial\beta_1} & ... & \frac{\partial{y_{n_{{n_f}+{n_m}}}}}{\partial\beta_1} \\ \frac{\partial{y_1}}{\partial\beta_2} & \frac{\partial{y_2}}{\partial\beta_2} & ... & \frac{\partial{y_{n_f}}}{\partial\beta_2} & \frac{\partial{y_{{n_f}+1}}}{\partial\beta_2} & \frac{\partial{y_{{n_f}+2}}}{\partial\beta_2} & ... & \frac{\partial{y_{n_{{n_f}+{n_m}}}}}{\partial\beta_2} \\ \end{array}\right]^T$

=

$\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 1 & ... & 1 & 1 & 1 & ... & 1 \\ 0 & 0 & ... & 0 & 1 & 1 & ... & 1 \\ \end{array}\right]^T$

いくつかの考え：

方程式を考えると、は175で、 = -10になります。だから男性と女性の部分のためにあなたは得ます：$\beta_1$$\beta_2$

$f_m = 175 (+) -10 \times 0 + u = 175 + u$

$f_f = 175 (+) -10 \times 1 + u = 165 + u$

使えるので

$\mathbf{\beta} = \left(X'X\right)^{-1}X^{T}\mathbf{y}$

Moore-Penrose Pseudoinverseを使用してを解きます。$\beta$

$\left(\left(X'X\right)^{-1}X^{T}\right)^{+}\beta=\left(\left(X'X\right)^{-1}X^{T}\right)^{+}\begin{bmatrix} 175 \\ -10 \end{bmatrix}=\mathbf{y}$

今含まれています。$\mathbf{y}$

$\mathbf{y} \approx \begin{bmatrix} 165_{f_1} & 165_{f_2} & ... 165_{f_{100}} & 175_{m_1} & 175_{m_2} & ... 175_{m_{100}} \end{bmatrix}^T$

それが役に立てば幸い！