カードゲーム：4枚のカードをランダムに引き、6枚のカードを引いた場合、私の最高のカードがあなたの最高のカードよりも高い確率はどのくらいですか？

タイトルで述べたように、私がランダムに4枚のカードを引き、同じデッキから6枚を引いた場合、私の最高のカードがあなたの最高のカードを破る確率はどうですか？

異なるデッキからドローする場合、これはどのように変わりますか？

ありがとう！

probability maximum

— ウダナオ
ソース

これは家事ですか？

— Aksakalはほぼ確実にバイナリで

この単純な質問には複雑な答えがあります。合併症は2つの要因によるものです：

カードは交換せずに描かれます。（したがって、各ドローは、後続のドローに使用できるデッキの内容を変更します。）
通常、デッキには各値のカードが複数あり、可能な限り最高のカードを引き分けます。

合併症は避けられないので、この問題のかなり広い一般化に対処してから、特殊なケースを見てみましょう。一般化では、「デッキ」は有限数のカードで構成されます。カードには、最低から最高までランク付けできる異なる「値」があります。ことが聞かせてランク付けされる値の（と最低及び最高）を。一人のプレイヤーは、描画デッキからカードをし、第2プレイヤが描画 $m$ $n_i \ge 1$ $i$ $i=1$ $i=m$ $a\ge 0$ $b\ge 1$ カード。最初のプレイヤーの手で最高ランクのカードが、2番目のプレイヤーの手で最高ランクのカードよりも厳密に価値が高い可能性は何ですか？このイベントをと呼びましょう。最初のプレイヤーの「勝ち」です。 $W$

このアウトを理解する一つの方法は、手順は、描画と同等であることに注目することによって始まる、デッキからカードを最初に取っ最初にプレイヤーのカードのように、これらのうち、残りの第二のプレーヤーのカードであることを。これらのカードの中で聞かせて最高値であるとしましょう、その値のカードの数も。彼女はすべて保持している場合にのみ、最初のプレイヤーが勝つそれらのカードのを。これらの特定のカードが中から見出すことができる方法の数のカードは、 $a+b$ $a$ $b$ $j$ $k \ge 1$ $k$ $a$ 、描かれたすべての間でそれらのカードを配置する方法の数は $\binom{a}{k}$ $k$ $a+b$ $\binom{a+b}{k}$ 。

今機会最大値であり、ある、そのようなカードは選択の機会である外値のカード及び選択残りのうち下位値。あるので、 $j$ $k$ $k$ $n_j$ $j$ $a+b-k$ $n_1 + n_2 + \cdots + n_{j-1} = N_{j-1}$ カードの等確率ドロー、答えは $\binom{N_m}{a+b}$ $a+b$

Pr (W) = \frac{1}{(\binom{N_{m}}{a + b})} \sum_{j = 1}^{m} \sum_{k = 1}^{n_{j}} \frac{(\binom{a}{k})}{(\binom{a + b}{k})} (\binom{n_{j}}{k}) (\binom{N_{j - 1}}{a + b - k}) .

$\Pr(W) = \frac{1}{\binom{N_m}{a+b}}\sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^{n_j} \frac{\binom{a}{k}}{\binom{a+b}{k}}\binom{n_j}{k}\binom{N_{j-1}}{a+b-k}.$

（この式では、あり、最高値が最低値よりも小さい、または最低値が負の二項係数はゼロとみなされます。）これは、デッキのカード。それは排他的に二項係数を含むので、それは大きな値に対して漸近近似に適していると。 $N_0=0$ $a$ $b$

場合によっては、「勝利」の定義を変更する必要があります。これは容易に行われますの値入れ替えること及び、同じ式は、第二のプレイヤーが完全に勝利する機会を計算します。とこれら2つのチャンスの合計の違いは、同点のチャンスです。好きな割合で、同点のチャンスをプレイヤーに割り当てることができます。 $a$ $b$ $1$

$m=13$ $n_i=4$ $i=1, 2, \ldots, m$ $n_i$ $n$ $N_{j-1} = (j-1)n$

Pr (W) = \frac{1}{(\binom{m n}{a + b})} \sum_{k = 1}^{n} \frac{(\binom{a}{k})}{(\binom{a + b}{k})} (\binom{n}{k}) \sum_{j = 1}^{m} (\binom{(j - 1) n}{a + b - k}) .

$\Pr(W) = \frac{1}{\binom{m n}{a+b}}\sum_{k=1}^{n}\frac{\binom{a}{k}}{\binom{a+b}{k}}\binom{n}{k}\sum_{j=1}^m \binom{(j-1)n}{a+b-k}.$

For instance, with $m=13$ and $n=4$ in a common 52 card deck of 13 ranks, $a=4$ , and $b=6$ , $\Pr(W) = \frac{12297518}{38720339}\approx 0.3176$ . A simulation of 100,000 plays of this game produced an estimate of $0.3159$ , which is precise to almost three significant figures and not significantly different from what the formula states.

The following R code is easily modified to estimate $\Pr(W)$ for any deck: simply change a, b, and deck. It has been set to run only 10,000 plays, which should take less than a second to execute and is good for two significant figures in the estimate.

a <- 4
b <- 6
deck <- rep(1:13, 4)
set.seed(17)
cards <- replicate(1e4, sample(deck, a+b))
win <- apply(cards, 2, function(x) max(x[1:a]) > max(x[-(1:a)]))
m <- mean(win)
se <- sqrt(m*(1-m)/length(win))
cat("Estimated Pr(a wins) =", round(m, 4), "+/-", round(se, 5), "\n")

The output in this instance is

Estimated Pr(a wins) = 0.3132 +/- 0.00464

— whuber
ソース

great answer! Can I ask what you think if each player draws from a different deck -- will this change the answer？

— Wudanao

Yes, it will change the answer because what one person draws will be independent of what the other player draws. In some ways that is an easier question, because the answer is a straightforward calculation of the chance that one random variable exceeds the value of another that is independent of it.

— whuber

Note that, if there weren't any ties, the answer would trivially be

\frac{a}{a + b}

$\frac{a}{a+b}$ : out of the

a + b

$a+b$ cards drawn, one must be highest, and its chance of ending up in the first player's hand is

a

$a$ out of

a + b

$a+b$ . But as you note, the presence of multiple cards with the same value in the deck complicates things.

— Ilmari Karonen

@Ilmari That's right. (And it's this insight that originally suggested the solution I presented.) With no ties,

n_{i} = 1

$n_i=1$ always, the sum of

k

$k$ goes away, and the fraction

(\binom{a}{k}) / (\binom{a + b}{k}) = (\binom{a}{1}) / (\binom{a + b}{1}) = a / (a + b)

$\binom{a}{k}/\binom{a+b}{k} = \binom{a}{1}/\binom{a+b}{1} = a/(a+b)$ factors out, showing how the general formula reduces to this simple one.

— whuber

@WernerCD True, but that effect has been explained: if the suits have a ranking, then there are no ties, and so the formula reduces to what limari's comment describes.

— Brilliand