「負の二項」確率変数がそれと呼ばれるのはなぜですか？

「負の二項」確率変数にその名前がある理由がわかりません。それについて何がマイナスですか？それについて二項とは何ですか？それについて負の二項式とは何ですか？

これは、その分布の式に現れる特定の二項係数が負の数でより簡単に記述できるという事実への参照です。

成功確率で一連の実験を行うとき、正確に回試行した後に回失敗する可能性は次のとおりです。r $p$$r$$k$

pk（1−p）${k+r−1}\choose {k}$ $p^k(1−p)^r$。

これは次のように書くこともできます

（ − $(−1)^k$pk（1−p）${−r}\choose {k}$$p^k(1−p)^r$

「負」という言葉は、その二項係数の$−r$を指します。この式が、符号係数を除き、通常の二項分布の式とどのように見えるかを観察します。

負の二項分布の別の名前はPascalの分布なので、それもあります。

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ウィキペディアによると、より詳細な答え：

負の二項分布の確率質量関数は

$f(k; r, p) \equiv \Pr(X = k) = \binom{k+r-1}{k} p^k(1-p)^r \quad\text{for }k = 0, 1, 2, \dotsc$

ここで、括弧内の量は二項係数であり、次と等しい

$\binom{k+r-1}{k} = \frac{(k+r-1)!}{k!\,(r-1)!} = \frac{(k+r-1)(k+r-2)\dotsm(r)}{k!}$。

この量は、「負の二項」という名前を説明して、次のように書くこともできます。

$\frac{(k+r-1)\dotsm(r)}{k!} = (-1)^k \frac{(-r)(-r-1)(-r-2)\dotsm(-r-k+1)}{k!} = (-1)^k\binom{-r}{k}$。

StatsExchangeの住人、まず、朗報です。この作者はWikipediaの公式をコピーしているので、すべてが順調です。この著者が書いた説明は間違っていました。彼はk + rトレイルの後にr個の失敗を得る確率を書いたはずです。
最初のk + r-1回の試行では、r-1回の失敗とk回の成功があったことに注意してください。したがって、式には（k + r-1 C r-1）p ^ k（1-p）^（r-1）が正しく含まれます。
そして、定義により、最終試行、つまりk + r番目の試行はr番目の失敗でなければなりません。このイベントは独立しているので、単純に確率1-pを掛けて、指定された確率を見つけます。