ロングテールではないヘビーテール分布の例

ヘビーテール分布およびロングテール分布に関する測定値から、すべてのロングテール分布はヘビーテールであるが、すべてのヘビーテール分布がロングテールではないことを理解しました。

誰かが例を挙げてください：

ロングテールの連続的で対称的なゼロ平均密度関数
ヘビーテールであるがロングテールではない連続で対称的なゼロ平均密度関数

だから私はそれらの定義の意味をよりよく理解できますか？

両方に単位分散がある場合はさらに良いでしょう。

distributions heavy-tailed

— トリヴェイラ
ソース

それらの定義はどこで見つけましたか？ここでそれらを与えることができますか？これらを同義語だと考えました！

— kjetil bハルヴォルセン

@kjetilbhalvorsen：おそらくここに：en.wikipedia.org/wiki/...

— Scortchi -復活モニカ

@kjetilbhalvorsen SA：リンクEを参照してください。LA： "heavy-"、 "fat-"、および "long-tailed"分布の定義を調べていたところ、（A）[ stats.stackexchange.com/質問/ 10726 / ...、（B）[ en.wikipedia.org/wiki/Heavy-tailed_distribution] 、（C）[ users.cms.caltech.edu/~adamw/papers/...、（続き）

— toliveira

（続き）（E）math.stackexchange.com/questions/685921/…（i）ヘビーテールの分布がA、B、C、D、Eのように定義されていること、（ii）ロングテールの分布が定義されていることを理解しました。 B、C、E（iii）のように、Aで説明されているように、ファットテールの定義は緩やかです。

— toliveira

2つの定義は似ていますが、まったく同じではありません。1つの違いは、生存率に制限があることの必要性にあります。

この回答のほとんどのために私は、これらは、我々が発見した後に達成が容易であるため、継続的な対称、かつ有限分散のように配布するための基準を無視する任意のロングテールでない有限分散ヘビーテイル分布を。

分布ある重尾ときにいずれかの、 $F$ $t\gt 0$

\begin{matrix} (1) & \int_{R} e^{t x} d F (x) = \infty . \end{matrix}

$\int_\mathbb{R} e^{t x} dF(x) = \infty.\tag{1}$

生存機能付き分布れるロングテール場合 $G_F = 1-F$

\begin{matrix} (2) & lim_{x \to \infty} \frac{G_{F} (x + 1)}{G_{F} (x)} = 1. \end{matrix}

$\lim_{x\to \infty} \frac{G_F(x+1)}{G_F(x)} = 1.\tag{2}$

ロングテール分布は重いです。さらに、は増加しないため、比率制限は超えることはできません。存在し、未満の場合、は指数関数的に減少します。これにより、積分が収束します。 $G$ $(2)$ $1$ $1$ $G$ $(1)$

ロングテールではないヘビーテール分布を示す唯一の方法は、ロングテール分布を変更して、が保持され、が違反されるようにすることです。制限を台無しにするのは簡単です。無限に分岐する無限の多くの場所で制限を変更します。ただし、を使用してある程度の処理を行う必要があります。1つの方法は、に上方ジャンプを導入することです。これにより、下方にジャンプし、比率低下します。 $(1)$ $(2)$ $F$ $F$ $G$ $G_F(x+1)/G_F(x)$ 。このためには、のは、変換定義してみましょうターン値で突然のジャンプの作成中に別の有効な分布関数に、途中からジャンプ言うに： $T_u$ $F$ $u$ $F(u)$ $1$

T_{u} [F] (x) = {\begin{cases} F (x) & u < x \\ \frac{1}{2} (1 - F (x)) + F (x) & u \geq x \end{cases}

$T_u[F](x) = \begin{cases} F(x) & u<x \\ \frac{1}{2} (1-F(x))+F(x) & u\geq x \end{cases}$

この変更のない基本的な性質：依然として分布関数です。 $F$ $T_u[F]$

上の効果それが倍に落とすようにすることであるで、。したがって、以降非減少であり、その後いつでも、 $G_F$ $1/2$ $u$ $G$ $u-1 \le x \lt u$

\frac{G_{T_{u} [F]} (x + 1)}{G_{T_{u} [F]} (x)} \leq \frac{1}{2} .

$\frac{G_{T_u[F]}(x + 1)}{G_{T_u[F]}(x )} \le \frac{1}{2}.$

我々は増加し、発散の配列選ぶ場合、、及び各適用連続しての、それが分布のシーケンスを決定とと $u_i$ $i=1, 2, \ldots$ $T_{u_i}$ $F_i$ $F_0=F$

F_{i + 1} = T_{u_{i}} [F_{i}]

$F_{i+1} = T_{u_i}[F_i]$

ため。ステップの後、すべて同じままです。したがって、シーケンスは、その制限を意味する、分布関数の非減少で境界のある点ごとのシーケンスです。 $i \ge 1$ $i^\text{th}$ $F_i(x), F_{i+1}(x), \ldots$ $x\lt u_i$ $F_i(x)$

F_{\infty} = lim_{i \to \infty} F_{i}

$F_\infty = \lim_{i\to\infty} F_i$

分布関数です。 構造とは、ロングテールれていない、その生存率れる無限に多くのポイントがあるので、に降下ができません示し、以下又はのように制限。 $G_{F_\infty}(x+1)/G_{F_\infty}(x))$ $1/2$ $1$

このプロットが示す生存関数点で、このようにカットダウンしている対数の垂直軸に注意してください。 $G(x) = x^{-1/5}$ $u_1 \approx 12.9, u_2 \approx 40.5, u_3 \approx 101.6, \ldots.$

希望が選択できるようにすることですだからヘビーテイルのまま。ので、我々は知っている重いテールある数字があること、ために $(u_i)$ $F_\infty$ $F$ $0 = u_0 \lt u_1 \lt u_2 \lt \cdots \lt u_n \cdots$

\int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / i} d F (x) \geq 2^{i - 1}

$\int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/i} dF(x) \ge 2^{i-1}$

すべてのための。右側のの理由は、によってまでの値に割り当てられた確率が、半分回連続してカットされているためです。その手順、によって置き換えられるいずれかの、低減しませんに、ない低いです。 $i \ge 1$ $2^{i-1}$ $F$ $u_i$ $i-1$ $dF(x)$ $dF_{j}(x)$ $j\ge i$ $2^{i-1}$ $1$

これは、以前の生存関数とその「カットダウン」バージョンに対応する密度のプロットです。この曲線の下の領域は期待に貢献します。からまでの面積はです。からまでの面積は、これを（下部の青の部分に）カットすると面積になります。からまでの面積はであり、これを削減すると面積になります $x f(x)$ $f$ $1$ $u_1$ $1$ $u_1$ $u_2$ $2$ $1$ $u_2$ $u_3$ $4$ $1$ 、等々。したがって、右側の連続する各「階段」の下の面積はです。 $1$

私たちは、このようなシーケンスを選択してみましょうを定義するために。私たちは、それが選択することにより重いテイルままであることを確認することができいくつかの整数のためのと建設を適用します： $(u_i)$ $F_\infty$ $t=1/n$ $n$

\begin{aligned} \int_{R} e^{t x} d F_{\infty} (x) & = \int_{R} e^{x / n} d F_{\infty} (x) \\ = \sum_{i = 1}^{\infty} \int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / n} d F_{\infty} (x) \\ \geq \sum_{i = n + 1}^{\infty} \int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / n} d F_{\infty} (x) \\ \geq \sum_{i = n + 1}^{\infty} \int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / i} d F_{\infty} (x) \\ = \sum_{i = n + 1}^{\infty} \int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / i} d F_{i} (x) \\ \geq \sum_{i = n + 1}^{\infty} 1, \end{aligned}

$\eqalign{ \int_\mathbb{R} e^{t x} dF_\infty(x) &=\int_\mathbb{R} e^{x/n} dF_\infty(x) \\ &= \sum_{i=1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/n} dF_\infty(x) \\ &\ge \sum_{i=n+1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/n} dF_\infty(x) \\ &\ge \sum_{i=n+1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/i} dF_\infty(x) \\ &= \sum_{i=n+1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/i} dF_i(x) \\ &\ge \sum_{i=n+1}^\infty 1, }$

まだ分岐しています。以来任意に小さくされ、これは、ことを示しているそのロングテール財産が破壊されているにもかかわらず、ヘビーテイルのまま。 $t$ $F_\infty$

これは、カットダウン分布の生存率プロットです。元の比率と同様に、累積値の上限に向かう傾向がありますが、単位幅の間隔がで終わると、比率は突然元の半分にまで低下します。これらの低下は、が増加するにつれて減少しますが、無限に頻繁に発生するため、比率が限界でに近づくのを防ぎます。 $G(x+1)/G(x)$ $G$ $1$ $u_i$ $x$ $1$

連続的で対称的なゼロ平均の単位分散の例が必要な場合は、有限分散のロングテール分布から始めます。（）は、であれば提供されます。を超える自由度のスチューデントt分布も同様です。瞬間のそれを超えることはできません $F(x) = 1 - x^{-p}$ $x \gt 0$ $p \gt 1$ $2$ $F_\infty$ $F$ 、そこからも有限分散を持ちます。ガウス分布などの滑らかな分布をもつ畳み込みによって「緩和」します。これにより、連続的になりますが、重い尾（明らかに）や長い尾がないことは破壊されません（それほど明白ではありませんが、たとえば、ガウス分布を、サポートがコンパクトなベータ版に変更します）。

私はまだ呼び出します-結果対称 --by定義を $F_\infty$

F_{s} (x) = \frac{1}{2} (1 + sgn (x) F_{\infty} (| x |))

$F_s(x) = \frac{1}{2}\left(1 + \text{sgn}(x) F_\infty(|x|)\right)$

$x\in\mathbb{R}$

— ウーバー
ソース

見事に説明した。あなたは単なる例ではなく、その正当性も提供しました。説明の明快さにより、私は（ほとんど）その全体を理解することができました。いくつかの数値例でそれを練習します。

— -toliveira