MAPを使用してパラメーターを推定するときにMCMCが必要な理由

パラメータのMAP推定の式を考える と、MCMC（または同様の）アプローチが必要なのはなぜ、導関数を取得し、それをゼロに設定してからパラメータを解くことができないのでしょうか。

あなたの事後がどの家族からのものであるかを知っていて、その分布の導関数を見つけることが分析的に実行可能であれば、それは正しいです。

ただし、MCMCを使用すると、そのような状況になることはおそらくありません。MCMCは、後部がどのように見えるかについて明確な分析的概念がない状況向けに作成されています。

ほとんどの事後研究者は、分析的に最適化するのが難しいことを証明し（つまり、勾配を取り、それをゼロに設定することにより）、MAPを実行するには、いくつかの数値最適化アルゴリズムに頼る必要があります。

余談ですが、MCMCはMAPとは無関係です。

MAP- 事後確率の最大値 -事後密度に比例する何かの極大値を見つけ、対応するパラメーター値を推定値として使用することを指します。次のように定義されます

MCMCは通常、確率密度に比例するものの期待値を概算するために使用されます。事後の場合、それは

ここで、は、適切なマルコフチェーンによってアクセスされるパラメーター空間の位置のコレクションです。一般的に、は意味のある意味で使用します。θ M A P ≠ θ M C M $\{\theta^{0}_{i}\}^{n}_{i=1}$$\hat{\theta}_{MAP} \neq \hat{\theta}_{MCMC}$

重要なのは、MCMCがサンプリングをベースにしているのに対して、MAPは最適化を必要とするということです。