IDリンクを使用したOLSとPoisson GLM

私の質問は、ポアソン回帰とGLMの一般的な理解が不十分であることを示しています。ここに私の質問を説明するためのいくつかの偽のデータがあります：

### some fake data
x=c(1:14)
y=c(0,  1,  2,  3,  1,  4,  9, 18, 23, 31, 20, 25, 37, 45)

擬似R2を返すカスタム関数：

### functions of pseudo-R2

psuR2 <- function(null.dev, model.dev) { 1 - (model.dev / null.dev)}

predR2 <- function(actuals, predicted) { 1 - (sum((actuals - predicted)^2)) / sum((actuals - mean(actuals))^2)}

4つのモデルに適合：OLS、アイデンティティリンク付きガウスGLM、ログリンク付きポアソンGLM、アイデンティティリンク付きポアソンGLM

#### OLS MODEL
mdl.ols=lm(y~x)
summary(mdl.ols)
pred.ols = predict(mdl.ols)

summary(mdl.ols)$r.squared
predR2(y, pred.ols)

#### GLM MODEL, family=gaussian(link="identity")
mdl.guass <- glm(y~x, family=gaussian(link="identity"), maxit=500)
summary(mdl.guass)
pred.guass = predict(mdl.guass)

psuR2(mdl.guass$null.deviance, mdl.guass$deviance)
predR2(y, pred.guass)

#### GLM MODEL, family=possion (canonical link)
mdl.poi_log <- glm(y~x, family=poisson(link="log"), maxit=500)
summary(mdl.poi_log)
pred.poi_log= exp(predict(mdl.poi_log))  #transform

psuR2(mdl.poi_log$null.deviance, mdl.poi_log$deviance)
predR2(y, pred.poi_log)

#### GLM MODEL, family=poisson((link="identity")
mdl.poi_id <- glm(y~x, family=poisson(link="identity"), start=c(0.5,0.5), maxit=500)
summary(mdl.poi_id)
pred.poi_id = predict(mdl.poi_id)

psuR2(mdl.poi_id$null.deviance, mdl.poi_id$deviance)
predR2(y, pred.poi_id)

最後に予測をプロットします。

#### Plot the Fit
plot(x, y) 
lines(x, pred.ols)
lines(x, pred.guass, col="green")
lines(x,pred.poi_log, col="red")
lines(x,pred.poi_id, col="blue")

2つの質問があります。

1. OLSとアイデンティティリンク付きのガウスGLMから得られる係数と予測はまったく同じであるようです。これは常に本当ですか？

2. OLSの見積もりと予測が、アイデンティティリンクを備えたポアソンGLMとは大きく異なることに非常に驚いています。どちらの方法もE（Y | X）を推定しようとすると思いました。ポアソンのIDリンクを使用すると、尤度関数はどのように見えますか？

1. はい、同じです。ガウスのMLEは最小二乗であるため、IDリンクを使用してガウスGLMを実行すると、OLSを実行します。

2. a）「私は両方の方法がE（Y | X）を推定しようとすると思った」

   実際、そうですが、条件付き期待がデータの関数として推定される方法は同じではありません。分布（したがって、データがどのように尤度を入力するか）を無視して、GLMを平均と分散の観点から（まるでそれが単なる重み付き回帰であるかのように）考えたとしても、ポアソンの分散は平均とともに増加します。観測値の相対的な重みは異なります。

   b）「ポアソンのIDリンクを使用すると、尤度関数はどのように見えますか？」

   $\mathcal{L}(\beta_0,\beta_1) = \prod_i e^{-\lambda_i}\lambda_i^{y_i}/y_i!$

   $\qquad\qquad\,=\exp(\sum_i -\lambda_i+{y_i}\log(\lambda_i)-\log{(y_i!)}\,)\quad$ where$\lambda_i=\beta_0+\beta_1 x_i$

   $\qquad\qquad\,=\exp(\sum_i -(\beta_0+\beta_1 x_i)+{y_i}\log(\beta_0+\beta_1 x_i)-\log{(y_i!)}\,)$