二項分布の推定量

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二項分布からのデータの推定量をどのように定義しますか？ベルヌーイの場合、パラメーターpを推定する推定器を考えることができますが、二項分布の場合、分布を特徴付けるnがあるときに推定するパラメーターがわかりませんか？

更新：

推定量とは、観測されたデータの関数を意味します。推定器を使用して、データを生成する分布のパラメーターを推定します。

estimation binomial

— ロヒト・バンガ
ソース

「推定者」についてのあなたの理解は何ですか？推定量には「パラメータ」がないため、それについて疑問に思います。質問を明確に伝えていないのではないかと心配になります。おそらく、あなたが検討している実際の状況の具体例を挙げることができます。

— whuber

@whuberはさらに情報を追加しました。詳細を追加したい場合や、私の理解に欠陥がある場合はお知らせください。

— ロヒトバンガ

編集は正しいですが、具体的な例がまだ役立ちます。二項分布の多くのアプリケーションでは、

はパラメーターではありません。指定され、

が推定される唯一のパラメーターです。たとえば、

独立した同一分布のベルヌーイ試行での成功のカウント

はBinomial（

、

）分布があり、唯一のパラメーター

推定量の1つは

です。

n

$n$

p

$p$

k

$k$

n

$n$

n

$n$

p

$p$

p

$p$

k / n

$k/n$

— whuber

2

私は、

と

両方を推定する例（不自然な例でさえも）（頻繁な設定で）を見たいと思っています。それについて考える：あなたが観察し、単一のカウント数を、kは、言う

。

ほぼ

に等しいと予想されます。それで、

、

と推定できますか？または多分

、

？または他のほとんど何ですか？:-)または、一連の独立した観測

があるかもしれないと提案していますか

n

$n$

p

$p$

k = 5

$k=5$

k

$k$

n p

$n p$

n = 10

$n=10$

p = 0.5

$p=0.5$

n = 5000

$n=5000$

p = 0.001

$p=0.001$

すべて、

と

両方が不明な一般的な二項

分布からですか？

k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}

$k_1, k_2, \ldots, k_m$

(n, p)

$(n,p)$

p

$p$

n

$n$

— whuber

1

私は後者を提案しています-pとnの両方は不明です。N個の観測データポイントの関数として、nとpの両方の推定器が必要です。

— ロヒトバンガ

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あなたが探しているのは確率生成関数だと思います。二項分布の確率生成関数の導出は、以下で見つけることができます

http://economictheoryblog.com/2012/10/21/binomial-distribution/

しかし、最近ではウィキペディアを見ることは常に良い考えですが、二項式の仕様は改善できると言わざるを得ません。

https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution#Specification

— ProofGauss
ソース

1

すべての分布には、いくつかの未知のパラメーターがあります。たとえば、ベルヌーイ分布では、1つの未知のパラメーター成功確率（p）があります。同様に、二項分布には2つの未知のパラメーターnとpがあります。推定する不明なパラメーターを目的に応じて異なります。1つのパラメーターを修正し、他のパラメーターを推定できます。詳細については、参照、これを

— 愛の統計
ソース

両方のパラメーターを推定したい場合はどうなりますか？

— Rohitバンガ

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最尤推定では、関心のあるパラメーターに関する尤度関数の導関数を取得し、その方程式をゼロに等しくし、方程式を解く必要があります。手順は、「p」を推定する際に行った手順と同じです。「n」でも同じことをする必要があります。これをチェックしてくださいwww.montana.edu/rotella/502/binom_like.pdf

— love-stats

@love参照は

のみを推定し、

を固定値とします。

p

$p$

N

$N$

— whuber

-1にそれを等化、尤度関数の導関数を取るような状況の例については、愛・統計@

などは、仕事はしない、参照この試みと正解

0

$0$

— ディリップSarwate

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あなたはデータ持っていると言う。 $k_1, \dots, k_m \sim \text{iid binomial}(n, p)$

$\bar{k} = \hat{n}\hat{p}$ $s_k^2 = \hat{n}\hat{p}(1-\hat{p})$ $\hat{n}$ $\hat{p}$

または、たとえばoptimRで使用して、MLEを（おそらく数値的に）計算することもできます。

— カール
ソース

p < 1 / 2

$p \lt 1/2$

s^{2} / \bar{k} > 1

$s^2/\bar{k} \gt 1$

@whuber-彼は良い推定量を求めませんでした。;）

— カール

1

提案するだけではありません

\hat{n}

$\hat{n}$ = 17および

\hat{p} = 1 / 2

$\hat{p}=1/2$ no matter what, then? :-) But you have a point: the question doesn't even specify what is to be estimated. If we only need an estimator for

n p

$np$ , then there's an obvious good one available.

— whuber

@whuber - Indeed. And I wouldn't be surprised to find

\hat{n} \approx max k_{i}

$\hat{n} \approx \max k_i$ for the MLE.

— Karl

That's correct: especially when

p

$p$ is close to

1

$1$ , the max of the counts is the MLE. It works pretty well in such cases, as you might imagine. For smaller

p

$p$ , even with lots of data it's hard to distinguish this from a Poisson distribution, for which

n

$n$ is effectively infinite, leading to an enormous uncertainty in the estimate of

n

$n$ .

— whuber

0

I think we could use method of moments estimation to estimate the parameters of the Binomial distribution by the mean and the variance.

Using the method of moments estimation to estimate The parameters $p$ and $m$ . [{\hat{p}}_n=\frac{\overline{X}-S^2}{\overline{X}}][\hat{m}_n=\frac{\overline{X}^2}{\overline{X}-S^2}] Proof The estimators of the parameters $m$ and $p$ by the Method of Moments are the solutions of the system of equations

m p = \bar{X}, m p (1 - p) = S^{2} .

$mp =\bar{X},\quad mp(1-p) = S^2.$ Hence our equations for the method of moments are: [\overline{X}=mp] [S^2=mp (1-p).]

Simple arithmetic shows: [S^2 = mp\left(1 - p\right) = \bar{X}\left(1 - p\right)] [S^2=\bar{X}-\bar{X} p] [\bar{X}p=\bar{X}-S^2, \mbox{ therefore } \hat{p}=\frac{\bar{X}-S^2}{\bar{X}}.] Then, [\bar{X} = mp, \mbox{ that is, } m \left(\frac{\bar{X}-S^2}{\bar{X}}\right)] [\bar{X}=m\left(\frac{\bar{X}-S^2}{\bar{X}}\right), \mbox{ or } \hat{m}=\frac{\bar{X}^2}{\bar{X}-S^2}. ]

— salma
ソース

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It would be good if you could expand on this, for example, by writing the formula for the MoM estimator. Otherwise the answer is not self-contained; others (who don't already know the answer) will have to search online for "method of moments" etc. until they find the real answer.

— jbowman

is there a way to render the math here correctly?

— David Refaeli