クロンバッハのアルファは直感的に何ですか？

クロンバックのアルファを直感的に理解しようとしています。この構成の背後にある一般的な考え方は何ですか？彼らが持っていることを確認するために彼らはどんな特性を試みていましたか？

次の式を調べることで、その意味を確認できます。

$$\alpha = \frac{K}{K-1}\left(1-\frac{\sum \sigma^2_{x_i}}{\sigma^2_T}\right)$$

ここで です。は個の項目を使用したテストの合計スコアで、それぞれがスコア付けします。 T K x $T=x_1 + x_2 + ... x_K$$T$$K$$x_i$

RVの合計の共分散について知っていることを使用して、式を解凍します。

• テスト項目が独立している場合（ランダム、簡単な追跡の質問を考える）、の分散はと分散の合計です。T X I α = $K$$T$$x_i$$\alpha=0$
• が実際に同じ質問を回繰り返したと仮定します。次に、、そして小さな代数は示します。 K σ 2 T = K 2 σ 2 X α = $x_i$$K$$\sigma^2_T=K^2 \sigma^2_x$$\alpha=1$

これらは極端なケースです。通常、アイテム間にはいくつかの正の相関があります（すべてが同じ方向にコーディングされていると仮定）。そのため、分散の比率は1より小さくなります。共分散が大きいほど、値は大きくなります。$\alpha$

の分散を得るためにには共分散があることを忘れないでください。そのため、健全なを得るためには、ほとんどのものが他のほとんどの変数と合理的に相関している必要があります。@ttnphnsが指摘したように、ほぼ正規化された平均共分散です。X I T $K(K-1)/2$$x_i$$T$$\alpha$

$$\sigma^2_T = \sum \sigma^2_{x_i} + 2 \sum_{i < j}^K {\rm cov}(x_i,x_j)$$

この項は分散の比率の分子内にあるため、それが大きくなると、その比率は小さくなり、数量は1に近づきます。

これはどういう意味ですか？非常に単純なテスト状況を考えてみましょう。ここで、各項目は、同じ負荷の基になる要素と相関しています。

$$x_i = \lambda \xi + \epsilon_i$$

その場合、共分散は形式になります。がノイズ比べてかなり大きい場合、1に近い値を取得します。実際、なるように標準化すると、 λ ε σ 2 、X = $\lambda^2$$\lambda$$\epsilon$$\sigma^2_x=1$

$$\alpha = \frac{K}{K-1}\left(1-\frac{1}{1+(K-1)\lambda^2}\right)$$

そして因子負荷の非線形バージョン場合、基本的に単調です。$\alpha$

悲しいことに、その逆は当てはまりません。大きな値は、さまざまな因子構造から得られるか、まったく得られません。アイテムは平均して相互に関連している必要がありますが、実際にはあまり意味がありません。クロンバッハアルファは、私の意見では、それが価値があるかについてあまりにも多くの宣伝を得るテスト統計です。現在、因子分析を行わず、テスト項目が期待どおりに機能しているかどうかを確認する理由はありません。$\alpha$

次のグラフは、上記のように20個のアイテムが同じ読み込みである場合のの値を示しています。$\alpha$

心理学者は、0.80より大きいを得ることを好みますが、0.5のローディングで達成できます-厳密なテスト項目ではありません。$\alpha$