正規分布でのxの期待値、特定の値を下回っていることをGIVEN

xが特定の値を下回っている（たとえば、平均値を下回っている）場合、xの期待値が正規分布である場合、それを見つけることができるかどうか疑問に思っています。

平均が、分散がの正規分布変数分布は、と同じです。ここで、は標準正規変数です。について知っておくべきことは、μ σ 2 σ Z + μ Z $X$$\mu$$\sigma^2$$\sigma Z + \mu$$Z$$Z$

• その累積分布関数はと呼ばれ、$\Phi$
• 確率密度関数があり、$\phi(z) = \Phi^\prime(z)$
• $\phi^\prime(z) = -z \phi(z)$。

最初の2つの箇条書きは、表記と定義にすぎません。3番目は、必要な正規分布の唯一の特別なプロパティです。

「特定の値」をます。からへの変化を予測し、定義するX $T$$X$$Z$

$$t = (T-\mu)/\sigma,$$

そのため

$$\Pr(X \le T) = \Pr(Z \le t) = \Phi(t).$$

次に、条件付き期待値の定義から始めて、その線形性を利用して

$$\eqalign{ \mathbb{E}(X\,|\, X \le T) &= \mathbb{E}(\sigma Z + \mu \,|\, Z \le t) = \sigma \mathbb{E}(Z \,|\, Z \le t) + \mu \mathbb{E}(1 \,|\, Z \le t) \\ &= \left(\sigma \int_{-\infty}^t z \phi(z) dz + \mu \int_{-\infty}^t \phi(z) dz \right) / \Pr(Z \le t)\\ &=\left(-\sigma \int_{-\infty}^t \phi^\prime(z) dz + \mu \int_{-\infty}^t \Phi^\prime(z) dz\right) / \Phi(t). }$$

微積分の基本定理は、導関数の積分が終点で関数を評価することによって見つかると主張しています：。これは両方の積分に適用されます。と両方がで消滅する必要があるため、$\int_a^b F^\prime(z) dz = F(b) - F(a)$$\Phi$$\phi$$-\infty$

$$\mathbb{E}(X\,|\, X \le T) = \mu - \sigma \frac{\phi\left(t\right)}{\Phi\left(t\right)}.$$

これは、元の平均から、逆ミル比に比例する補正項を引いたものです。

予想どおり、逆ミルズ比は正で、を超える必要があります（そのグラフは赤い点線で示されています）。それまで漸減しなければとして、その後に切り捨てため、大きくなる（または）ほとんど何も変化しません。非常に否定的成長、逆ミルズ比が接近しなければならない急速に左尾部のほぼ全ての確率を（で、その右側付近に集中していることが正規分布減少の尾ので）。$t$$-t$$0$$t$$Z=t$$X=T$$t$$-t$$t$

最後に、が平均である場合、であり、逆ミル比はます。これは、の期待値を意味（負であるその平均で切断、半正規分布）であり、倍の平均以下の標準偏差。$T = \mu$$t=0$$\sqrt{2/\pi} \approx 0.797885$$X$$-\sqrt{2/\pi}$

一般に、に分布関数持たせます。$X$$F(X)$

我々は、持っている、 たとえば、を使用すると、が得られる特殊なケースが得られます。$x\in[c_1,c_2]$

$$\begin{eqnarray*} P(X\leq x|c_1\leq X \leq c_2)&=&\frac{P(X\leq x\cap c_1\leq X \leq c_2)}{P(c_1\leq X \leq c_2)}=\frac{P(c_1\leq X \leq x)}{P(c_1\leq X \leq c_2)}\\&=&\frac{F(x)-F(c_1)}{F(c_2)-F(c_1)} \end{eqnarray*}$$ $c_1=-\infty$$F(c_1)=0$

（例えば、条件付きCDFSを使用して、条件付き密度を得ることが用の条件付き期待値のために使用することができます）、。$f(x|X<0)=2\phi(x)$$X\sim N(0,1)$

あなたの例では、 @ whuberの答えのようにパーツによる統合により が得られます。

$$E(X|X<0)=2\int_{-\infty}^0x\phi(x)=-2\phi(0),$$