イベントが無限に（ほぼ確実に）発生することを証明する方法は？

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演習：公平な6面のダイスとバイアスされたコインがあり、各トスで頭が上がる確率がp> 0です。サイコロは無限に転がり、6を振るたびにコインを投げます。確率1で「頭」を無限にトスすることを証明します。

さて、私はこの質問を直感的に受け取ります。サイコロの無限のロールとは、6を含むサイコロの各数字が無限に出現することを意味します。これは、コインも無限に反転されることを意味し、ヘッズが結果となる可能性が保証されているため、無限の数も取得します。頭。

これを数学表記でどのように表現するかはわかりませんが、ここで誰かが私を助けてくれることを願っています。

— FaxDogTitanicSoccer
ソース

あなたがあなたがあなたが使うことができることをすでに何を知っていますか？たとえば、バイアスされたコインの無限に多くのフリップに現れるヘッドの数がほぼ確実に無限になることをすでに確立していますか？

— whuber

いいえ、これはまだ確立する必要があります。nが無限大になるので、私は二項分布を使用しようとしましたが、それはどこにもリードしていません...

— FaxDogTitanicSoccer

これはBorel-Cantelli補題の逆の結果のアプリケーションだと思います... en.wikipedia.org/wiki/Borel%E2%80%93Cantelli_lemmaこれは役に立ちますか？

— RayVelcoro 2015

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サンプルスペースは、7つの可能な結果で構成されます：サイコロの「1」から「5」、「6」と「尾」、「6」と「頭」。これらを省略してみましょう。 $\Omega=\{1,2,3,4,5,6T,6H\}$

イベントは、アトムによって生成されるため、すべてのサブセットが測定可能です。 $\{1\}, \{2\}, \ldots, \{6H\}$ $\Omega$

確率測度は、これらの原子の値によって決定されます。質問の情報と、コイントスがサイコロとは無関係であるという（合理的な）仮定とともに、これらの確率は次の表のとおりです。 $\mathbb{P}$

\begin{array}{lc} Outcome & Probability \\ 1 & \frac{1}{6} \\ 2 & \frac{1}{6} \\ 3 & \frac{1}{6} \\ 4 & \frac{1}{6} \\ 5 & \frac{1}{6} \\ 6T & \frac{1 - p}{6} \\ 6H & \frac{p}{6} \end{array}

$\begin{array}{lc} \text{Outcome} & \text{Probability} \\ 1 & \frac{1}{6} \\ 2 & \frac{1}{6} \\ 3 & \frac{1}{6} \\ 4 & \frac{1}{6} \\ 5 & \frac{1}{6} \\ \text{6T} & \frac{1-p}{6} \\ \text{6H} & \frac{p}{6} \end{array}$

の独立した実現のシーケンスは、すべての要素があるシーケンスです。。のは、すべてのそのような配列のセット呼ぼう。ここでの基本的な問題は、無限シーケンスの処理にあります。次のソリューションの背後にある動機付けのアイデアは、有限イベントの確率の計算に削減できるまで確率計算を簡略化し続けることです。これは段階的に行われます。 $X$ $(\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n, \ldots)$ $\Omega$ $\Omega^\infty$

まず、すべての確率を議論するために、我々は上の措置を定義する必要がのようなイベントを行い、「測定可能なセットに無限にしばしば起こります」。これは、値の無限の指定を含まない「基本」セットの観点から行うことができます。私たちは確率を定義する方法を知っているので、のセット上の有限長のシーケンス、、のは、任意の測定の「拡張子」を定義してみましょうすべての無限の配列から成るためにのいくつかの要素を持っています $\Omega^\infty$ $6H$ $\mathbb{P}_n$ $n$ $\Omega^n$ $E \subset \Omega^n$ $\omega\in\Omega^\infty$ $E$ プレフィックスとして：

E^{\infty} = {(ω_{i}) \in Ω^{\infty} | (ω_{1}, \dots, ω_{n}) \in E} .

$E^\infty = \{(\omega_i)\in\Omega^\infty\,|\, (\omega_1,\ldots,\omega_n)\in E\}.$

上の最小の完全加法族すべてのようなセットが含まれている私たちが作業するものです。 $\Omega^\infty$

確率測度で有限の確率で決定される。それはすべてのために、ある、すべての、 $\mathbb{P}_\infty$ $\Omega^\infty$ $\mathbb{P}_n$ $n$ $E\subset \Omega^n$

P_{\infty} (E^{\infty}) = P_{n} (E) .

$\mathbb{P}_\infty(E^\infty) = \mathbb{P}_n(E).$

（上の完全加法族について、先行する文と測度制限引数に達するだろう何行うためのエレガントな方法があります。） $\Omega^\infty$ $\mathbb{P}_\infty$

これらの手続きを管理して、計算を行うことができます。はじめに、無限に頻繁に発生する「確率」について議論することは理にかなっていることを確立する必要があります。このイベントタイプのイベントの交点として構成することができる「少なくとも発生ため、回」。これは測定可能なセットの数え切れないほどの共通部分であるため、測定可能であり、その確率が存在します。 $6H$ $6H$ $n$ $n=1, 2, \ldots$

次に、この無限に頻繁に発生する確率を計算する必要があります。一つの方法は、補完的な事象の確率を計算することである。というのチャンス何である有限個しか何度も発生しますか？このイベントは、既に確立されているように、測定可能なセットの補足であるため、測定可能です。イベントに分割することができる形の" 正確に発生ために、時間を" 。これらは数え切れないほど多くあるため、 $6H$ $6H$ $E$ $E$ $E_n$ $6H$ $n$ $n=0, 1, 2, \ldots$ は、確率の（可算）合計になります。これらの確率は何ですか？ $E$ $E_n$

より多くの我々は、パーティション操作を行うことができたら：のイベントに休憩形の「正確に行われないロールで時間をと二度と発生します。」これらのイベントはばらばらで数が数えられるので、私たちがしなければならないすべてのことは（もう一度！）それらの可能性を計算してそれらを合計することです。しかし、最終的には、我々はに問題が低下している有限の計算：いずれかのチャンスを超えない有限形式のイベント「のために発生する $E_n$ $E_{n,N}$ $6H$ $n$ $N$ $\mathbb{P}_\infty(E_{n,N})$ $6H$ 時のロールでとロールの間に発生していないおよび「私たちは本当に詳細を知る必要はありませんので、計算は簡単です：たびに。ことで増加し、チャンス-それはBE-何であれ-は、がロールされない確率（さらに掛けます。これにより、共通の比率幾何学的シーケンスが得られます。開始値に関係なく、任意に大きくなります小さい $n^\text{th}$ $N$ $N$ $M \gt N$ $M$ $1$ $6H$ $1-p/6$ $r = 1-p/6 \lt 1$ が大きくなります。 $M$

$E_{n,N}$

$\mathbb{P}_\infty(E_{n,N})$ $0$ $0$

P_{\infty} (E_{n}) = \sum_{N = 0}^{\infty} P_{\infty} (E_{n, N}) = 0.

$\mathbb{P}_\infty(E_n) = \sum_{N=0}^\infty \mathbb{P}_\infty(E_{n,N}) = 0.$

$n \ge 0$ $n$ $6H$

P_{\infty} (E) = \sum_{n = 0}^{\infty} P_{\infty} (E_{n}) = 0.

$\mathbb{P}_\infty(E) = \sum_{n=0}^\infty \mathbb{P}_\infty(E_n) = 0.$

6 H

$6H$

6 H

$6H$

1 - 0 = 1

$1-0 = 1$ 、QED。

前の段落のすべてのステートメントは、直感的に取るに足らないほどに明白です。シグマ代数と確率測度の定義を使用して、厳密な結論を示す演習は、無限シーケンスが関係する場合でも、これらの定義が確率を処理するのに適切なものであることを示すのに役立ちます。

— whuber
ソース

7

基本的な確率の原則を使用して問題に対処する2つの良い答えがあります。このような解決策が適切である状況で、この質問にすばやく答えるのに役立つ2つの定理を次に示します。

大きな数の強い法則（SLLN）は、有限平均の独立した同一分布の確率変数の場合、標本平均がほぼ確実に真の平均に収束することを示しています。

第二ボレル-Cantelli補題（BC2）は、独立した一連のイベントの確率の和が無限大である場合、これらのイベントの後、無限に多くのがほとんど確実に起こるだろうことを示しています。

これはSLLNを使用して質問にどのように答えるかです。

$Y_i$ $i$ $Y_i$ $\theta:=p/6>0$ $\sum_{i=1}^n Y_i/n \to \theta$ $\sum_{i=1}^n Y_i \to \infty$

これがBC2を使用してあなたの質問にどのように答えるかです：

$E_i$ $i$ $P(E_i)=p/6>0$ $i$ $\sum_{i=1}^nP(E_i)\to\infty$ $E_i$

私はこれらの答えは両方とも2つの定理に隠された多くの機構を必要とすることを強調します、そしてこれと同様の質問に答えることに興味がある人はそれらが適切かどうか決定しなければなりません。

— エクヴァル
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2

+1これらの発言は、標準的かつ重要な結果と非常に明確に関連しています。

— whuber

1

$I_j$ $j^{\text{th}}$

\sum_{j = 0}^{\infty} P (I_{j}) \overset{?}{=} 0.

$\sum_{j=0}^\infty P(I_j) \stackrel{?}{=} 0.$

P (I_{j}) = 0

$P(I_j) = 0$

j

$j$

A_{j, n}

$A_{j,n}$

n

$n$

j^{th}

$j^{\text{th}}$

I_{j} \subseteq A_{j, n}

$I_j \subseteq A_{j,n}$

n

$n$

P (I_{j}) \leq P (A_{j, n})

$P(I_j) \le P(A_{j,n})$

n \to \infty

$n \to \infty$

P (I_{j}) \leq lim_{n \to \infty} P (A_{j, n}) = 0

$P(I_j) \le \lim_{n \to \infty} P(A_{j,n}) = 0$

P (A_{j, n})

$P(A_{j,n})$

n - j - 1

$n-j - 1$

（編集：これは多かれ少なかれ@whuberの回答と同等かもしれませんが、OPが測定理論のフレームワークにないと想定しているため、形式/詳細は少し少なくなります。）

— 男
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