負の二項分布の最尤推定量

問題は次のとおりです。

n値のランダムサンプルは、パラメーターk = 3の負の二項分布から収集されます。

1. パラメーターπの最尤推定量を求めます。
2. この推定量の標準誤差の漸近式を見つけます。
3. パラメータkが十分に大きい場合に、負の二項分布がほぼ正規になる理由を説明します。この通常の近似のパラメーターは何ですか？

私の作業は次のとおりです
。1.これが必要なことだと思いますが、ここで正確かどうか、または提供された情報からこれをさらに進めることができるかどうかわかりません。

2. 以下が求められていることだと思います。最後の部分では、$\hat{\pi}$を\ dfrac {k} {x} \ ell``（\ hat {\ pi}）=-\ dfrac {k} {\ hat {\で置き換える必要があるように感じます$\dfrac{k}{x}$

   $$\ell``(\hat{\pi}) = -\dfrac{k}{\hat{\pi}^2} + \dfrac{x}{(1-\hat{\pi})^2}\\ se(\hat{\pi}) = \sqrt{-\dfrac{1}{\ell``(\hat{\pi})}}\\ se(\hat{\pi}) = \sqrt{\dfrac{\hat{\pi}^2}{k} - \dfrac{(1-\hat{\pi})^2}{x}}\\$$

3. 私はこれをどのように証明するか本当にわかりません、そしてそれをまだ研究しています。ヒントや便利なリンクをいただければ幸いです。それは、負の二項分布が幾何分布の集まり、または二項分布の逆として見ることができるという事実に関連しているように感じますが、それにどのように取り組むかはわかりません。

どんな助けでも大歓迎です

1。

$p(x) = {x_i-1 \choose k-1}\pi^k(1-\pi)^{x_i-k}$

$L(\pi;x_i) = \prod_{i=1}^{n}{x_i-1 \choose k-1}\pi^k(1-\pi)^{x_i-k}\\$

$\ell(\pi;x_i) = \sum_{i=1}^{n}[log{x_i-1 \choose k-1}+klog(\pi)+(x_i-k)log(1-\pi)]\\ \frac{d\ell(\pi;x_i)}{d\pi} = \sum_{i=1}^{n}[\dfrac{k}{\pi}-\dfrac{(x_i-k)}{(1-\pi)}]$

これをゼロに設定し、

$\frac{nk}{\pi}=\frac{\sum_{i=1}^nx_i-nk}{1-\pi}$

$\therefore$ $\hat\pi=\frac{nk}{\sum_{i=1}^nx}$

2。

次の部分では、という定理を使用する必要があります、はここのフィッシャー情報です。したがって、標準偏差あろう。または、ここではCLTを使用しているため、これを標準エラーと呼びます。$\sqrt{n}(\hat\theta-\theta) \overset{D}{\rightarrow}N(0,\frac{1}{I(\theta)})$$I(\theta)$$\hat\theta$$[nI(\theta)]^{-1/2}$

したがって、負の二項分布のフィッシャー情報を計算する必要があります。

$\frac{\partial^2 \log(P(x;\pi))}{\partial\pi^2}=-\frac{k}{\pi^2}-\frac{x-k}{(1-\pi)^2}$

$I(\theta)=-E(-\frac{k}{\pi^2}-\frac{x-k}{(1-\pi)^2})=\frac{k}{\pi^2}+\frac{k(1-\pi)}{(1-\pi)^2\pi}$

注：負の二項pmfの場合、$E(x) =\frac{k}{\pi}$

したがって、の標準エラー は$\hat \pi$$[n(\frac{k}{\pi^2}+\frac{k(1-\pi)}{(1-\pi)^2\pi})]^{-1/2}$

簡略化して、を取得します$se(\pi)=\sqrt{\dfrac{\pi^2(\pi-1)}{kn}}$

3。

幾何分布は、k = 1の場合の負の二項分布の特殊なケースです。注は幾何分布です$\pi(1-\pi)^{x-1}$

したがって、負の二項変数は、k個の独立した同一に分布した（幾何学的）確率変数の合計として記述できます。

したがって、CLTによって、パラメータkが十分に大きければ、負の二項分布はほぼ正規になります。