補間の統計的正当化とは何ですか？

2つのポイント（次の図：黒丸）があり、それらの間の3番目のポイント（クロス）の値を検索するとします。実際、実験結果である黒点に基づいて推定します。最も単純な場合は、線を引き、値を見つけることです（つまり、線形補間）。たとえば、両側に茶色のポイントなどのサポートポイントがある場合、それらの恩恵を受けて、非線形曲線（緑色の曲線）に適合することを好みます。

問題は、赤十字を解決策としてマークする統計的推論は何ですか？なぜ他の十字架（例：黄色の十字架）が、彼らがいるはずの答えではないのですか？どのような推論または（？）によって赤いものを受け入れるように促されますか？

この非常に単純な質問に対する回答に基づいて、元の質問を作成します。

ノンパラメトリックなもの（通常、関係する曲線の滑らかさを仮定するもの）でさえ、あらゆる形式の関数近似には仮定が含まれ、したがって信頼の飛躍が伴います。

線形補間の古代の解決策は、持っているデータがきめ細かく「十分に」（ちょうど十分に近い円を見れば、同様に平らに見える-ちょうどコロンブスに聞いてください）「実行できる」ものですコンピュータ時代の前（これは多くの現代のスプラインソリューションには当てはまりません）。関数は2つのポイント間で「同じ（つまり線形）に続く」という信念を仮定することは理にかなっていますが、これには先験的な理由はありません（手元の概念に関する知識がなければ）。

3つ（またはそれ以上）の非共線ポイントがある場合（上記の茶色のポイントを追加する場合など）にすぐに明らかになります。各ポイント間の線形補間は、それらの各ポイントにすぐに鋭いコーナーが含まれることが一般的に望ましくありません。それは他のオプションが飛び込むところです。

ただし、さらにドメインの知識がなければ、1つのソリューションが他のソリューションより優れていることを確実に述べる方法はありません（このため、他のポイントの値が何であるかを知る必要があり、関数をフィッティングする目的に反します）最初の場所）。

明るい面で、そしておそらくあなたの質問により関連性がある、「規則性条件」（読み：仮定：関数が滑らかであることがわかっている場合）、線形補間と他の一般的なソリューションの両方が「合理的」であることが証明できます近似。それでも：それは仮定を必要とし、これらのために、通常統計がありません。

最適な直線（たとえば、y = 0.4554x + 0.7525）の線形方程式を計算できますが、これはラベル付き軸がある場合にのみ機能します。しかし、これは他のポイントとの関係で最適なものだけを正確に答えるわけではありません。