2つの正規平均の比の信頼区間を計算する方法

私はのための限界を導出したい二つの手段の比の信頼区間を。仮定、および独立している、平均比。解決しようとしました：だが、その方程式は多くの場合解くことができなかった（根がない）。私は何か間違っていますか？より良いアプローチはありますか？ありがとう $100(1-\alpha)\%$
$X_1 \sim N(\theta_1, \sigma^2)$ $X_2 \sim N(\theta_2, \sigma^2)$ $\Gamma = \theta_1/\theta_2$

Pr （ - z （ α / 2 ） ） \leq {バツ}_{1} - Γ {バツ}_{2} / σ \sqrt{1 + γ^{2}} \leq z （ α / 2 ） ） = 1 - α

$\text{Pr}(-z(\alpha/2)) \leq X_1 - \Gamma X_2 / \sigma \sqrt {1 + \gamma^2} \leq z(\alpha/2)) = 1 - \alpha$

normal-distribution mean

— フランコレックス
ソース

問題は、2つの正規分布からの2つの数値の比率がコーシー分布に従うため、分散が定義されていないことです。

@mbq-CDFは逆正接関数であるため、コーシー分布では信頼区間に問題はありません。CIが機能するために分散を定義する必要はありません。また、平均がゼロの2つの通常のRVの比率はコーシーですが、必ずしも平均が0でない2つの通常のRVです。

— 確率論的

@probabilityislogic確かに、日曜日の朝に考えることをやめなければなりません。

回答:

Fiellerの方法は、必要なことを行います。2つの平均の商の信頼区間を計算します。両方の平均は、ガウス分布からサンプリングされると想定されています。

元の引用は：Fieller EC：インスリンの生物学的標準化。JR Statist Soc 1940、7：1-64への補足。
Wikipediaの記事は、要約の良い仕事をしていません。
計算を行うオンライン計算機を作成しました。
ここに私の直観的な生物統計学の初版からの数学を要約しているページがあります

— ハーベイ・モトゥルスキー
ソース

これは非常に優れたリファレンスです。また、実際に計算機を作成したことも気に入っています（+1）。ただし、予想どおり、計算機では、分母の信頼区間にゼロが含まれている場合、商のCIを計算することはできないと明確に述べています。二次方程式を解こうとすると同じことが起こると思います。分散が1、mu1 = 0およびmu2 = 1、N = 10000であるとします。それは解決できません。

— フランコレックス

オンライン計算機Harveyのおかげで、私は統計学のバックグラウンドが不十分な典型的な生物学者であり、あなたの計算機はまさに私が必要としていたものです。

— -Timtico

素晴らしい電卓-まさに私が探していたもの。ありがとう

— アレクサンダー

@ harvey-motulsky付録へのリンクは機能しなくなりました。この付録の資料は、Intuitive Biostatisticsの第3版に含まれているのでしょうか？

— ガブリエルサザン

@GabrielSouthernリンクの腐敗を指摘してくれてありがとう。一定。

— ハーベイモトゥルスキー

Rには、mratios関数を含むパッケージがありますt.test.ratio。

Gemechis Dilba Djira、Mario Hasler、Daniel Gerhard、Frank Schaarschmidt（2011）。mratios：一般的な線形モデルの係数の比の推論。Rパッケージバージョン1.3.15。 http://CRAN.R-project.org/package=mratios

http://www.r-project.org/user-2006/Slides/DilbaEtAl.pdfも参照してください

— アレッサンドロ・ジャコプソン
ソース

また、Fiellerの信頼区間を使用mratiosせずに計算する場合（通常、単純なlmフィットは必要ないが、glmerまたはglmer.nbフィットなど）、FiellerRatioCIモデルの出力をモデル化して、次の関数を使用できます。 anameは分子パラメーターの名前、bnameはデノミエーターパラメーターの名前です。また、FiellerRatioCI_basic関数a、b、およびaとbの間の共分散行列を直接使用することもできます。

ここでのアルファは0.05であり、コードの1.96に「ハードコード」されていることに注意してください。任意の生徒のレベルに置き換えることができます。

FiellerRatioCI <- function (x, ...) { # generic Biomass Equilibrium Level
    UseMethod("FiellerRatioCI", x)
}
FiellerRatioCI_basic <- function(a,b,V,alpha=0.05){
    theta <- a/b
    v11 <- V[1,1]
    v12 <- V[1,2]
    v22 <- V[2,2]

    z <- qnorm(1-alpha/2)
    g <- z*v22/b^2
    C <- sqrt(v11 - 2*theta*v12 + theta^2 * v22 - g*(v11-v12^2/v22))
    minS <- (1/(1-g))*(theta- g*v12/v22 - z/b * C)
    maxS <- (1/(1-g))*(theta- g*v12/v22 + z/b * C)
    return(c(ratio=theta,min=minS,max=maxS))
}
FiellerRatioCI.glmerMod <- function(model,aname,bname){
    V <- vcov(model)
    a<-as.numeric(unique(coef(model)$culture[aname]))
    b<-as.numeric(unique(coef(model)$culture[bname]))
    return(FiellerRatioCI_basic(a,b,V[c(aname,bname),c(aname,bname)]))
}
FiellerRatioCI.glm <- function(model,aname,bname){
    V <- vcov(model)
    a <- coef(model)[aname]
    b <- coef(model)[bname]
    return(FiellerRatioCI_basic(a,b,V[c(aname,bname),c(aname,bname)]))
}

例（標準glm基本例に基づく）：

 counts <- c(18,17,15,20,10,20,25,13,12)
 outcome <- gl(3,1,9)
 treatment <- gl(3,3)
 glm.D93 <- glm(counts ~ outcome + treatment, family = poisson())

 FiellerRatioCI(glm.D93,"outcome2","outcome3")

ratio.outcome2            min            max 
      1.550427      -2.226870      17.880574

— cmbarbu
ソース