従来のプログラミング言語を使用して、既知の平均と分散を持つ正規分布からサンプリングする方法は？

統計学のコースを受講したことがないので、ここで適切な場所で質問することを望みます。

正規分布を記述する2つのデータ、平均および分散ます。コンピューターを使用して、この2つの統計を尊重するように、この分布からランダムにサンプリングします。σ $\mu$$\sigma^2$

サンプルを出力する前に各サンプルにを追加するだけで、0付近で単純に正規化することで平均を処理できることは明らかです。しかし、を尊重するようにプログラムでサンプルを生成する方法がわかりません。σ $\mu$$\sigma^2$

私のプログラムは、従来のプログラミング言語になります。統計パッケージにアクセスできません。

平均0および分散1の特定の分布からサンプリングできる場合、平均および分散を持つその分布のスケール位置変換から簡単にサンプリングできます。が平均0および分散1の分布のサンプルである場合、 は平均および分散サンプルです。したがって、平均追加する前に、標準偏差（分散の平方根）で変数をスケーリングするだけです。σ 2のx σ のx + μ μ σ 2 σ $\mu$$\sigma^2$$x$

$$\sigma x + \mu$$ $\mu$$\sigma^2$$\sigma$$\mu$

平均0と分散1の正規分布から実際にシミュレーションを取得する方法は、別の話です。そのようなものを実装する方法を知るのは楽しくて面白いですが、統計パッケージまたはプログラミング言語を使用するかどうかにかかわらず、乱数生成に適した関数またはライブラリを取得して使用することをお勧めします。使用するライブラリに関するアドバイスが必要な場合は、使用しているプログラミング言語に関する特定の情報を追加できます。

編集：コメント、他のいくつかの回答、Fixeeがこの回答を受け入れたという事実に照らして、均一変数の変換を使用して通常の変数を生成する方法についてさらに詳しく説明します。

• VitalStatistixのコメントで既に言及されている1つの方法は、2つの独立した一様ランダム変数を取り、2つの独立した通常のランダム変数を生成するBox-Mullerメソッドです。さらにいくつかのシミュレーションを犠牲にして、2つの超越関数sinとcosの計算を回避する同様の方法が、francogrexによる回答として投稿されました。
• 完全に一般的な方法は、逆分布関数による均一なランダム変数の変換です。が一様に分布している場合、 は標準正規分布になります。の明示的な分析式はありませんが、正確な数値近似により計算できます。Rの現在の実装（最後にチェックした）は、この考えを使用しています。この方法は概念的には非常に単純ですが、正確な実装が必要です。これは、おそらく（他の）超越関数log、sin、およびcosほど普及していないでしょう。[ 0 、1 ] Φ - 1（U ）Φ - 1 Φ - $U$$[0,1]$ $$\Phi^{-1}(U)$$ $\Phi^{-1}$$\Phi^{-1}$
• いくつかの答えは、中心極限定理を使用して正規分布を均一なランダム変数の平均として近似する可能性に言及しています。これは一般的に推奨されません。平均0と分散1のマッチングなどの提示された引数、および分布のサポートの考慮事項は説得力がありません。Christian P. RobertとGeorge Casellaによる「Rによるモンテカルロ法の紹介」の演習2.3では、このジェネレータは時代遅れと呼ばれ、近似は非常に貧弱と呼ばれています。
• 他にも多くのアイデアがあります。「コンピュータプログラミングの技術」第3巻の第3章、特にセクション3.4。ドナルドE.クヌースによる2は、乱数生成に関する古典的な参考文献です。ブライアンリプリーは、ランダム変数のコンピューター生成：チュートリアルを執筆しました。これは役に立つかもしれません。RobertとCasellaが言及した本、またはおそらく他の本の第2章「モンテカルロ統計法」もお勧めです。

結局のところ、正しく実装された方法は、使用される均一な擬似乱数ジェネレーターよりも優れていません。個人的に、私は信頼できると思う特別な目的のライブラリに頼ることを好みます。私はほとんどの場合、Rに直接実装されているメソッド、またはC / C ++のAPIを介して実装されているメソッドに依存しています。明らかに、これは誰にとっても解決策ではありませんが、他のライブラリに精通していないため、代替案を推奨できません。

これは、マイケルルーの回答とFixeeのコメントに対するコメントですが、このサイトにコメントする評判がないため、回答として投稿されています。

$[0, 1]$$6$$1$

$$E\left [\sum_{i=1}^{12} X_i\right ] = \sum_{i=1}^{12} E[X_i] = 12\times \frac{1}{2} = 6$$ $$\text{var} \left [\sum_{i=1}^{12} X_i\right ] = \sum_{i=1}^{12} \text{var}[X_i] = 12\times \frac{1}{12} = 1.$$ $\sum_{i=1}^{12} X_i - 6$$\sqrt{10/12}$$\sum_{i=1}^{12} X_i - 6$$[-6, 6]$$6$

NRHによる答えに加えて、「標準正規分布」N（0,1）からランダムサンプルを生成する手段がまだない場合は、以下の方法が適切かつ簡単な方法です（統計情報がないため、パッケージの場合、以下の機能はほとんどの標準プログラミング言語で利用可能です。

1.およびによって
u = 2 r1 - 1、-1と1の範囲の2つの一様分布乱数としてuとvを生成します。v = 2 r2 - 1

2. w = u^2 + v^2w> 1の場合、計算して1に戻る

3. z= sqrt(-2ln(w)/w) サンプルコードでu * zおよびy = v * zを返すと、次のようになります。

u = 2 * random() - 1;
v = 2 * random() - 1;
w = pow(u, 2) + pow(v, 2);
if (w < 1) {
    z = sqrt((-2 * log(w)) / w);
    x = u * z;
    y = v * z;
    }

次に、MHRが上記で提案したものを使用して、からランダムに逸脱しN(mu, sigma^2)ます。

正規分布は、類似した分布（互いに類似している、つまり同じ意味の）のランダムな値を多く加算すると現れます。10個以上の均一に分布したランダム値を合計すると、合計はほぼ正規分布になります。（さらに正常にしたい場合は10以上を追加しますが、ほとんどすべての目的には10で十分です。）

一様な乱数値が0〜1の間に一様に分布しているとします。合計は0〜10になります。合計から5を引き、結果の分布の平均は0になります。 （ほぼ）正規分布と結果に目的の標準偏差を掛けます。残念ながら、10個の一様なランダム偏差の合計の標準偏差が何であるかはわかりませんが、運が良ければ誰かがコメントで教えてくれるでしょう！

多くのシステムでの正規分布の仮定の有用性は、多くのランダムな影響の合計が正規分布につながるという性質に完全に由来するため、私はこれらの用語で正規分布について話すことを好みます。