（全体の）関数の期待値に対するテイラー級数近似はいつ収束しますか？

いくつかの一変量確率変数と関数全体の形式期待値を取ります（つまり、収束の間隔は実線全体です）。$E(f(X))$$X$$f(\cdot)$

モーメント生成関数があるので、整数モーメントを簡単に計算できます。周りにテイラー級数を使用してから、一連の中心モーメント = f（\ mu）+ \ sum_ {n = 2 } ^ {\ infty} \ frac {f ^ {（n）}（\ mu）} {n！} E \ left [（x-\ mu）^ n \ right] この系列を切り捨て、 E_N（f（x） ）= f（\ mu）+ \ sum_ {n = 2} ^ {N} \ frac {f ^ {（n）}（\ mu）} {n！} E \ left [（x-\ mu）^ n \正しい] $X$$\mu \equiv E(x)$

$$E(f(x)) = E\left(f(\mu) + f'(\mu)(x - \mu) + f''(\mu)\frac{(x - \mu)^2}{2!} +\ldots\right)$$ $$=f(\mu) + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{f^{(n)}(\mu)}{n!}E\left[(x - \mu)^n\right]$$ $$E_N(f(x)) = f(\mu) + \sum_{n=2}^{N} \frac{f^{(n)}(\mu)}{n!}E\left[(x - \mu)^n\right]$$

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私の質問は次のとおりです。確率変数（およびf（\ cdot）に追加されたもの）の条件$f(\cdot)$は、期待値の近似が条件を追加すると収束します（つまり、$\lim\limits_{N\to\infty}E_N(f(x)) = E(f(x))$）。

私の場合は収束していないようです（ポアソン確率変数および$f(x) = x^{\alpha}$）。これらの条件が失敗したときに整数モーメントを使用しておおよその期待値を見つけるための他のトリックはありますか？

が実数解析的であるという仮定により、 ほぼ確実に（実際には）収束します。$f$

$$y_n = f(\mu) + f'(\mu)(x - \mu) + f''(\mu)\frac{(x - \mu)^2}{2!} + \ldots + f^{(n)}(\mu)\frac{(x - \mu)^n}{n!}$$ $f(x)$

収束、すなわち、期待値の収束を意味するようにその下での標準的な条件 ですそのようなについて。（収束収束定理。）

$$E[f(x)] = E [ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n] = \lim_{n \rightarrow \infty} E [y_n],$$ $|y_n| \leq y$$y$$E[y] < \infty$

この条件は、べき級数が絶対的に次のように収束する場合、つまりが成立する場合に および

$$y = \sum_{n \geq 0} |f^{(n)}(\mu)| \, \frac{|x - \mu|^n}{n!} < \infty \;\; a.s.$$ $$E[y] < \infty.$$

ポアソン確率変数と、は、上記の絶対制限基準の可積分性が、一般的に可能な限り弱いことを示唆しています。$f(x)=x^{\alpha}$$\alpha \notin\mathbb{Z}_+$

関数f（x）が級数展開を許容する場合、つまりすべての導関数が存在する場合、近似は収束します。特定のしきい値以上の導関数がゼロに等しい場合も完全に達成されます。Populis [3-4]およびStark and Woods [4]を参照できます。