urnの確率分布は、平均して置換せずにそこから引き出すと変化しますか？

urnにN個の異なる色のボールが含まれていて、それぞれの色が異なる回数表示される可能性があるとします（10個の赤いボールがある場合、10個の青いボールも必要ありません）。描画する前に骨壷の正確な内容がわかっている場合は、ボールの各色を描画する確率を示す離散確率分布を形成できます。私が平均的に骨壷から交換せずにk個のボールを描いた後に分布がどのように変化するのか私が思っているのは。骨壷から引き出したときに、何が取り出されたかという知識で分布を更新できることを理解していますが、知りたいのは、k個のボールを削除した後の分布の形状がどのようになると予想されるかです。分布は平均的に変化しますか、それとも同じままですか？それが変わらない場合、k回のドローを行った後、新しい分布が平均的にどのように見えると期待できるかについて、いくつかの式を書き留めることができますか？

1. $n$$m$$n_w$$X_i$$i$

   $$\begin{eqnarray} P(X_2=W)&=&P(X_2=W|X_1=W)P(X_1=W)+P(X_2=W|X_1=\overline{W})P(X_1=\overline{W})\\ &=&\frac{n_w-1}{n-1}\frac{n_w}{n}+\frac{n_w}{n-1}\frac{n-n_w}{n}\\ &=&\frac{n_w(n-n_w+n_w-1)}{n(n-1)}\\ &=&\frac{n_w}{n}\\ &=&P(X_1=W) \end{eqnarray}$$

   もちろん、これと同じ議論が2回目のドローのどの色にも当てはまります。後でドローを検討するときに、同じ種類の引数を再帰的に適用できます。

   $k$$i$$k-i$$k+1$

2. $1,2,...,n$$k$$1$

   $k$$1$$k$

（少なくとも1つのボールが残っている場合）分布が変更されていないことが完全に明らかでない唯一の理由は、情報が多すぎるためです。気が散る材料を取り除きましょう。

$k$$k+1$$k$$k$

この議論は、完全に有効ですが、一部の人々を不安にさせるかもしれません。次の分析は、選択順序を無視するよう求めないため、より厳密なものとして受け入れられる場合があります。

$p_k$$k+1$$p_k$$p_{k}\ne 0$

$C$$k$$C$$k_C$$C$$n$

$k\lt n$$k$

$k$$E(D_k)$$D_k$

$E(D_k)$

$E(D_0)$$E(D_1)$$E(D_0)$$E(D_i)$

「期待される分布」は変わりません。マーチンゲールの議論を使うことができます！そのようなことを後で答えに追加します（私は今旅行中です）。

初期のドローを条件とする分布（後のドローの場合）は、実際にドローを観察したときにのみ変化します。しっかりと閉じた手で骨壷からボールを​​引き、その色を観察せずに捨てた場合（私はクラスデモとしてこのような劇場を効果的に使用しました）、分布は変化しません。この事実には説明がありません。確率は情報に関するものであり、確率は情報の概念です。

したがって、確率は、新しい情報（条件付き確率）を取得した場合にのみ変更されます。観察せずにボールをドローして捨てても、新しい情報は得られないため、コンディショニングに新しいものはありません。したがって、実際の情報セットを条件付けしても、それは変更されていないため、条件付き分布は変更できません。

 EDIT

この回答についてこれ以上詳しく説明することはしません。参照を1つだけ追加します。HosamM. Mahmoud： "PólyaUrn Models"（Chapman＆Hall）。スキームも、限界結果を取得するためにマルチンゲール法を使用します。しかし、この投稿の質問にはマルチンゲール法は必要ありません。