nls（）で「初期パラメーター推定での特異勾配行列」エラーが発生するのはなぜですか？

排出削減と車あたりのコストに関するいくつかの基本的なデータがあります。

q24 <- read.table(text = "reductions  cost.per.car
    50  45
    55  55
    60  62
    65  70
    70  80
    75  90
    80  100
    85  200
    90  375
    95  600
    ",header = TRUE, sep = "")

これは指数関数であることを知っているので、以下に適合するモデルを見つけることができると期待しています。

    model <- nls(cost.per.car ~ a * exp(b * reductions) + c, 
         data = q24, 
         start = list(a=1, b=1, c=0))

しかし、私はエラーが発生しています：

Error in nlsModel(formula, mf, start, wts) : 
  singular gradient matrix at initial parameter estimates

私は私が見ているエラーに関するたくさんの質問を読んでおり、問題はおそらくより良い/異なるstart値が必要であることを収集しています（initial parameter estimatesもう少し理にかなっています）が、私が持っているデータ、より良いパラメータを推定する方法。

非線形モデルの適切な開始値を自動的に見つけることは芸術です。（1回限りのデータセットでは、データをプロットして視覚的に適切に推測できる場合、比較的簡単です。）1つのアプローチは、モデルを線形化し、最小二乗推定を使用することです。

この場合、モデルの形式は

不明なパラメータ。指数の存在は、対数を使用することを奨励しますが、を追加すると、それを行うことが難しくなります。通知は、しかし、場合に正次いで以下の最小期待値よりなり従って--and最小弱かもしれない観測値。（が負になる可能性がある場合、値は最大観測値よりも少し大きいことも考慮する必要があります。）c a c Y Y a c $a,b,c$$c$$a$$c$$Y$$Y$$a$$c$$Y$

それでは、観測値最小値の半分のような初期推定値を使用してを処理します。モデルは、その厄介な加法的用語なしで次のように書き換えられるようになりました。c 0 y $c$$c_0$$y_i$

次のログを取得できること：

これはモデルの線形近似です。とは両方とも最小二乗で推定できます。$\log(a)$$b$

修正されたコードは次のとおりです。

c.0 <- min(q24$cost.per.car) * 0.5
model.0 <- lm(log(cost.per.car - c.0) ~ reductions, data=q24)
start <- list(a=exp(coef(model.0)[1]), b=coef(model.0)[2], c=c.0)
model <- nls(cost.per.car ~ a * exp(b * reductions) + c, data = q24, start = start)

その出力（サンプルデータ）は

Nonlinear regression model
  model: cost.per.car ~ a * exp(b * reductions) + c
   data: q24
        a         b         c 
 0.003289  0.126805 48.487386 
 residual sum-of-squares: 2243

Number of iterations to convergence: 38 
Achieved convergence tolerance: 1.374e-06

収束がよさそうです。プロットしましょう：

plot(q24)
p <- coef(model)
curve(p["a"] * exp(p["b"] * x) + p["c"], lwd=2, col="Red", add=TRUE)

うまくいきました！

これを自動化する場合、極値と（）データの広がりを比較するなど、残差の簡単な分析を実行できます。また、可能性を処理するために類似のコードが必要になる場合があります。演習として残しておきます。a < $y$$a\lt 0$

初期値を推定する別の方法は、経験、物理理論などに基づいた、意味の理解に依存します。 この方法で初期値を決定できる（適度に難しい）非線形近似の拡張例は、私の回答で説明されていますで/stats//a/15769。

散布図の視覚的分析（初期パラメーター推定値を決定するため）は、/stats//a/32832で説明および図解されています。

状況によっては、解がゆっくりと変化することが予想される場合に、非線形近似のシーケンスが作成されます。その場合、次のソリューションの初期推定値として以前のソリューションを使用すると便利です（そして高速です）。/stats//a/63169で（コメントなしで）この手法を使用したことを思い出します。

このライブラリは、nlsの問題を解決できましたsingular gradient：http : //www.r-bloggers.com/a-better-nls/ 例：

library(minpack.lm)
nlsLM(function, start=list(variable=2,variable2=12))

だから...私はこれを指数関数と誤解していると思う。必要なのはpoly()

model <- lm(cost.per.car ~ poly(reductions, 3), data=q24)
new.data <- data.frame(reductions = c(91,92,93,94))
predict(model, new.data)

plot(q24)
lines(q24$reductions, predict(model, list(reductions = q24$reductions)))

または、次を使用lattice：

xyplot(cost.per.car ~ reductions, data = q24,
       panel = function(x, y) {
         panel.xyplot(x, y)
         panel.lines(x, predict(model,list(reductions = x) ))
       }, 
       xlab = "Reductions", 
       ylab = "Cost per car")