従属変数の積の分散

従属変数の積の分散の式は何ですか？

独立変数の場合、式は単純です：

$${\rm var}(XY) = E(X^{2}Y^{2}) - E(XY)^{2} = {\rm var}(X){\rm var}(Y) + {\rm var}(X)E(Y)^2 + {\rm var}(Y)E(X)^2$$ しかし、相関変数の式は何ですか？

ところで、統計データに基づいて相関関係を見つけるにはどうすればよいですか？

さて、あなたが指摘した身近なアイデンティティを使用して、

$${\rm var}(XY) = E(X^{2}Y^{2}) - E(XY)^{2}$$

共分散の類似式を使用して、

$$E(X^{2}Y^{2}) = {\rm cov}(X^{2}, Y^{2}) + E(X^2)E(Y^2)$$

そして

$$E(XY)^{2} = [ {\rm cov}(X,Y) + E(X)E(Y) ]^{2}$$

これは、一般に、が${\rm var}(XY)$

$${\rm cov}(X^{2}, Y^{2}) + [{\rm var}(X) + E(X)^2] \cdot[{\rm var}(Y) + E(Y)^2] - [ {\rm cov}(X,Y) + E(X)E(Y) ]^{2}$$

独立の場合、あり、これは${\rm cov}(X^2,Y^2) = {\rm cov}(X,Y) = 0$

$$[{\rm var}(X) + E(X)^2] \cdot[{\rm var}(Y) + E(Y)^2] - [ E(X)E(Y) ]^{2}$$

そして2つの項がキャンセルされ、$[ E(X)E(Y) ]^{2}$

$${\rm var}(X){\rm var}(Y) + {\rm var}(X)E(Y)^{2} + {\rm var}(Y)E(X)^{2}$$

あなたが上で指摘したように。

編集：XとYを別々に観察せずにだけを観察する場合、c o v（X 、Y ）またはc o v（X 2、Y 2）を推定する方法はないと思います特別な場合（たとえば、X 、Yにアプリオリに知られている手段がある場合）$XY$$X$$Y$${\rm cov}(X,Y)$${\rm cov}(X^2,Y^2)$$X,Y$

これは、2つの相関するランダム変数の積の分散を決定するために知っておく必要があることを正確に示す、@ Macroの非常に優れた答えの補遺です。var （X Y ）以来 wherecov（X、Y）、E[X]、E[Y]、

$$\begin{align} \operatorname{var}(XY) &= E\left[(XY)^2\right] - \left(E[XY]\right)^2 \tag{1}\\ &= E[(XY)^2] - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\\ &= E[X^2Y^2] - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\tag{2}\\ &= \left(\operatorname{cov}(X^2,Y^2)+E[X^2]E[Y^2]\right) - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\tag{3}\\ \end{align}$$ $\operatorname{cov}(X,Y)$$E[X]$$E[Y]$、及び E [ Y 2 ] 量を既知であると仮定することができ、我々は、の値を決定することができる必要がある Eを[ X 2 Y 2 ]における（2 ）または COV （X 2、Y 2）に（3 ）。これは一般的には簡単ではありませんが、すでに指摘したように、 Xと Yが独立したランダム変数である場合、 cov （X $E[X^2]$$E[Y^2]$$E\left[X^2Y^2\right]$$(2)$$\operatorname{cov}(X^2,Y^2)$$(3)$$X$$Y$。実際、相関関係（またはその欠如）ではなく依存関係が重要な問題です。私たちはそのことを知っている COV （X 、Yは）等しい 0 の代わりに、いくつかの非ゼロの値は、しない、それ自体で、私たちの努力の中で最ものヘルプは、の値を決定している Eを[ X 2 Y 2 ]または COV （X 2、Yを2）それにもかかわらず $\operatorname{cov}(X,Y) = \operatorname{cov}(X^2,Y^2) = 0$$\operatorname{cov}(X,Y)$$0$$E\left[X^2Y^2\right]$$\operatorname{cov}(X^2,Y^2)$$(2)$$(3)$

$X$$Y$$E\left[X^2Y^2\right]$

Suppose that $X$ and $Y$ are jointly normal random variables with correlation coefficient $\rho$. Then, conditioned on $X = x$, the conditional density of $Y$ is a normal density with mean $E[Y] + \rho\left.\left.\sqrt{\frac{\operatorname{var}(Y)}{\operatorname{var}(X)}} \right(x-E[X]\right)$ and variance $\operatorname{var}(Y)(1-\rho^2)$. Thus,

$$\begin{align}E[X^2Y^2 \mid X] &= X^2E[Y^2 \mid X]\\ &= X^2\left[\operatorname{var}(Y)(1-\rho^2) + \left(E[Y] + \rho\left.\left.\sqrt{\frac{\operatorname{var}(Y)}{\operatorname{var}(X)}} \right(X-E[X]\right)\right)^2\right] \end{align}$$ which is a quartic function of $X$, say $g(X)$, and the Law of Iterated Expectation tells us that $$E[X^2Y^2] = E\left[E[X^2Y^2\mid X]\right] = E[g(X)]\tag{4}$$ where the right side of $(4)$ can be computed from knowledge of the 3rd and 4th moments of $X$ -- standard results that can be found in many texts and reference books (meaning that I am too lazy to look them up and include them in this answer).

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Further addendum: In a now-deleted answer, @Hydrologist gives the variance of $XY$ as

$$\mathrm{Var}\left[xy\right] = \left(\mathrm{E}\left[x\right]\right)^2\mathrm{Var}\left[y\right] + \left(\mathrm{E}\left[y\right]\right)^2\mathrm{Var}\left[x\right] + 2\mathrm{E}\left[x\right]\mathrm{Cov}\left[x,y^2\right] + 2\mathrm{E}\left[y\right]\mathrm{Cov}\left[x^2,y\right]\\ + 2\mathrm{E}\left[x\right]\mathrm{E}\left[y\right]\mathrm{Cov}\left[x,y\right] +\mathrm{Cov}\left[x^2,y^2\right] - \left(\mathrm{Cov}\left[x,y\right]\right)^2 \tag{5}$$ and claims that this formula is from two papers published a half-century ago in JASA. This formula is an incorrect transcription of the results in the paper(s) cited by Hydrologist. Specifically, $\mathrm{Cov}\left[x^2,y^2\right]$ is a mistranscription of $E[(x-E[x])^2(y-E[y])^2]$ in the journal article, and similarly for $\mathrm{Cov}\left[x^2,y\right]$ and $\mathrm{Cov}\left[x,y^2\right]$.