サンプルの最大値の分散とは何ですか？

一連のランダム変数の最大値の分散の境界を探しています。言い換えれば、ここでは固定であるような閉じた形式の式を探しています。有限平均および分散の確率変数のセット。 $B$

Var (max_{i} X_{i}) \leq B,

$\mbox{Var}(\max_i X_i) \leq B \enspace,$

X = {X_{1}, \dots, X_{M}}

$X = \{ X_1, \ldots, X_M \}$

M

$M$

μ_{1}, \dots, μ_{M}

$\mu_1, \ldots, \mu_M$

σ_{1}^{2}, \dots, σ_{M}^{2}

$\sigma_1^2, \ldots, \sigma_M^2$

私はと推論できる

Var (max_{i} X_{i}) \leq \sum_{i} σ_{i}^{2},

$\mbox{Var}(\max_i X_i) \leq \sum_i \sigma_i^2 \enspace,$ これバウンドが非常に緩いようだが。数値テストでは、

B = max_{i} σ_{i}^{2}

$B = \max_i \sigma_i^2$ が可能性があることを示しているようですが、これを証明できませんでした。どんな助けも大歓迎です。

variance bounds maximum

— ピーター
ソース

（

X_{i}

$X_i$ が独立していると仮定しますか？）推測はもっともらしいが、間違っているように見える。たとえば、

X_{i}

$X_i$ がCDF

1 - x^{1 - s}

$1-x^{1-s}$ 、

1 \leq x \leq \infty

$1\le x\le \infty$ 、

iid であるいくつかの試行を行います

s > 3

$s\gt 3$ 。共通の分散に対する最大の分散は、

M

$M$ が大きくなるにつれて制限なく増加します。

— whuber

@whuberありがとう、その推測を証明できなかった理由を説明します:)

X_{i}

$X_i$ が独立している場合に本当に興味があります。明確にするために、私は最初の2つの瞬間のみを使用する一般的な範囲に主に興味を持っています。一般的な分散よりも鋭い一般境界が存在するかどうかはわかりません。

— ピーター

私はあなたの合計の限界が正しいことを指摘する必要があります（それが正しいと仮定します-証拠のスケッチを見るといいでしょう）。例えば、聞かせ間隔に支持されると超えない分散およびlet上に支持する。次に、分散でなりますが、不等式は縮小することで好きなだけ狭めることができます。

X_{2}, \dots, X_{M}

$X_2,\ldots,X_M$

[- \infty, a]

$[-\infty, a]$

ε^{2}

$\varepsilon^2$

X_{1}

$X_1$

[a, \infty]

$[a,\infty]$

max_{i} X_{i} = X_{1}

$\max_i{X_i}=X_1$

σ_{1}^{2} \leq σ_{1}^{2} + (M - 1) ε^{2}

$\sigma_1^2\le\sigma_1^2+(M-1)\varepsilon^2$

ε^{2}

$\varepsilon^2$

— whuber

iidデータの場合、極値理論は、サンプルの最大値が収束する分布のクラスを提供します。元の分布の裾の特定の条件は、漸近分布の異なるクラスを与えます。ですから、私は理論に接線的にしか精通していませんが、2つのモーメントのみに基づいて良い限界を導き出すことができるとは思いません。

— StasK

回答:

いずれかのためにの確率変数、最高の一般的な束縛がある元の質問で述べたように。証明のスケッチを次に示します。X、YがIIDの場合、です。おそらく従属変数ベクトルが与えられた場合、同じ結合分布を持つ独立したベクトルとする。任意の、、およびこのをから積分すると、クレームされた不等式が生成されます。 $n$ $X_i$ $\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}\Var(\max X_i) \le \sum_i \Var(X_i)$ $E[(X-Y)^2] =2\Var(X)$ $(X_1,\ldots ,X_n)$ $(Y_1,\ldots ,Y_n)$ $r>0$ $P[ |\max_i X_i-\max_i Y_i|^2 >r] \le \sum_i P[ | X_i-Y_i|^2 >r]$ $dr$ $0$ $\infty$

が確率イベントのIIDインジケーターである場合、は確率イベントのインジケーターです。を修正してをゼロにする傾向があると、およびます。 $X_i$ $\epsilon$ $\max X_i$ $n\epsilon+O(n^2 \epsilon^2)$ $n$ $\epsilon$ $\Var(X_i)=\epsilon-\epsilon^2$ $\Var(\max_i X_i)= n\epsilon +O(n^2\epsilon^2)$

— ユヴァル・ペレス
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MathOverflowに関する質問は、この質問に関連しています。

IIDランダム変数の場合、番目に高いものは次数統計と呼ばれます。 $k$

IIDベルヌーイ確率変数の場合でも、中央値以外の次数統計の分散は母集団の分散よりも大きくなる可能性があります。たとえば、ある確率でと確率で及び、最大は確率で母集団の分散があるので、分散一方最大値は約です。 $X_i$ $1$ $1/10$ $0$ $9/10$ $M=10$ $1$ $\approx 1- 1/e$ $0.09$ $0.23$

順序統計の分散に関する2つの論文があります。

Yang、H.（1982）「中央値およびその他の順序統計の分散について」ブル。研究所数学。Acad。Sinica、10（2）pp。197-204

パパパトス、N。（1995）「順序統計量の最大分散」。アン。研究所統計学者。Math。、47（1）pp。185-193

2番目の論文の最大値の分散の上限はと思います。彼らは、平等は起こり得ないが、IIDベルヌーイ確率変数ではそれより低い値が生じる可能性があると指摘しています。 $M\sigma^2$

— ダグラス・ザレ
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