個人レベルの多変量解析を、地理的集計の小さなレベル（オーストラリアの国勢調査区）で実行したいと思います。明らかに、プライバシーの理由から、これらの小さなレベルの集計では国勢調査を利用できないため、他の代替案を調査しています。関心のある変数のほとんどすべてがカテゴリカルです。自由に使える2つのデータセットがあります。

• 1％の国勢調査サンプルは、はるかに高いレベルの空間集約（人口が約190,000で、人口統計の空間分離が広大な地域）で利用できます。

• 小領域レベルで関心のある変数の度数分布表（500小領域、平均ポップ= 385、sd = 319、中央値= 355）。

これらの2つのデータセットを使用して、小区域の実際の人口にできるだけ近い小区域レベルでの人口分布をシミュレートするにはどうすればよいですか？

これを行うための通常の方法があることを私は感謝しています。もしそうなら、教科書または関連する雑誌の記事へのポインタが非常に高く評価されます。

ダシメトリックマッピングは、現在普及しているデータで利用できるよりも小さい領域に人口推定値を内挿することに主に焦点を当てています（このトピックに関する多くの有用な参照については、この質問を参照してください）。多くの場合、これは明らかに人口が存在しないエリアを（土地の特性に基づいて）単純に特定し、人口密度を再推定することによって（それらのエリアを省略して）行われました。例としては、都市に水域がある場合や、居住人口のない工業用土地区画を特定した場合などがあります。ダシメトリマッピングへのより最近のアプローチでは、他の補助データを確率論的フレームワークに組み込んで、人口の推定値を割り当てます（Kyriakidis、2004年、Liuら、2008年、Linら、2011年、Zhang＆Qiu、2011年）。

これで、質問との関係を簡単に確認できます。小さな地域の人口の見積もりが必要です。しかし、それがどのようにあなたの目標に及ばないかについても明確でなければなりません。母集団データだけでなく、それらの母集団の特性も必要です。この状況を説明するために使用される用語の1つは、サポートの問題の変化です（Cressie、1996; Gotway＆Young、2002）。最近の研究では、点のサンプルから広域にわたって特定の特性を予測しようとする地球統計学の文献を借りて、さまざまなターゲットゾーンに面データを内挿することを試みています。Pierre Goovaertsの研究の多くは、このようなエリアツーポイントクリギング手法に焦点を当てています。これは、ジャーナルGeographical Analysisの最近の記事です。 さまざまな主題資料を適用した方法のいくつかの例（Haining et al。、2010）があり、この記事の中で私のお気に入りのアプリケーションの1つがこの記事（Young et al。、2009）です。

私が引用するものは、問題の万能薬として見られるべきではありません。結局、生態学的推論および集約バイアスに関する同じ問題の多くは、面内補間の目標にも当てはまります。ミクロレベルのデータ間の関係の多くは、集計プロセスで単純に失われるので、そのような補間手法ではデータを回復できません。また、データが経験的に内挿されるプロセス（集計レベルデータからバリオグラムを推定することによる）は、プロセスを疑わしくするはずの臨時のステップでいっぱいになることがよくあります（Goovaerts、2008）。

残念ながら、生態学的推論の文献と、ダシメトリックマッピングとエリアツーポイントクリギングに関する文献は重複していないため、これを別の回答で投稿します。生態学的推論に関する文献は、これらの手法に多くの意味を持っています。補間手法は集計バイアスの影響を受けるだけでなく、インテリジェントデータ分析手法（集計データを使用してモデルを近似してより小さな領域を予測する）は、おそらく集計バイアスの疑いがあります。集約バイアスが発生する状況についての知識は、面内補間とダシメトリックマッピングが大幅に失敗する状況（特に、非集約レベルでの異なる変数間の相関関係の識別に関して）を啓発するものです。

引用

• Cressie N.（1996）。サポートの変更および変更可能な面積単位の問題。Geographical Systems 3：159-180。
• Gotway CA＆LJ Young（2002）。互換性のない空間データを組み合わせています。Journal of the American Statistical Association 97（458）：632-648。（PDFはこちら）
• Goovaerts P.（2008）。不規則な地理的単位が存在する場合のクリギングとセミバリオグラムのデコンボリューション。数理地球科学40（1）：101-128（PDFはこちら）
• Haining、RP、R。Kerry＆MA Oliver（2010）。地理、空間データ分析、地球統計学：概要。地理分析42（1）：7-31。
• キリアキディスPC（2004）。エリアからポイントへの空間補間のための地球統計学的フレームワーク。地理分析36（3）：259-289。（PDFはこちら）
• Liu XH、PC Kyriakidis、MF Goodchild（2008）。回帰とエリアツーポイント残差クリギングを使用した人口密度の推定。International Journal of Geographical Information Science 22（4）：431-447。
• Lin J.、R。Cromley＆C. Zhang（2011）。地理的に重み付けされた回帰を使用して面内補間問題を解決します。年報GIS 17（1）：1-14。
• ヤング、LJ、CAゴットウェイ、J。ヤン、G。カーニー＆C.デュクロス（2009）。地理的分析で健康と環境のデータをリンクする：それは重心以上のものです。時空間疫学1（1）：73-84。
• Zhang C.＆F. Qiu（2011）。面補間へのポイントベースのインテリジェントなアプローチ。プロの地理学者63（2）：262-276。（PDFはこちら）

ゲイリーキングの作品、特に彼の著書「生態学的推論問題への解決策」（最初の2つの章はここで利用可能です）は興味深いものです（彼が生態学的推論に使用する付属のソフトウェアも同様です）。キングは本で、利用可能な集計データに基づいて下位グループが持つ可能性のある境界を調べることによって、集計データを使用した回帰モデルの推定をどのように改善できるかを示しています。データが主にカテゴリカルグループであるという事実により、この手法が適用されます。（だまされてはいけませんが、タイトルが与えられれば期待できるほどのオムニバスソリューションではありません！）より新しい作品が存在しますが、キングの本はIMOから始めるのに最適です。

別の可能性は、データ自体の潜在的な境界を（マップまたはグラフで）表すことだけです。たとえば、性別の分布を集計レベル（男性5,000、女性5,000など）で報告すると、この集計レベルには、人口9,000と1,000の2つの異なる小面積単位が含まれることがわかります。次に、これをフォームの分割表として表すことができます。

       Men     Women
Unit1   ?        ?    9000
Unit2   ?        ?    1000
       5000   5000 

下位レベルの集計のセルには情報がありませんが、限界合計から、各セルの潜在的な最小値または最大値を作成できます。したがって、この例では、Men X Unit1セルは4,000から5,000の間の値しか取ることができません（セルが取る可能性のある値の間隔が小さいほど、周辺分布はより不均一になります）。どうやらテーブルの境界を取得することは、予想していたよりも困難です（Dobra＆Fienberg、2000）。ただしeiPack、R のライブラリで関数を使用できるようです（Lau et al。、2007、p。43）。

このタイプのデータでは集約バイアスが必然的に発生するため、集約レベルのデータを使用した多変量解析は困難です。（簡単に言えば、多くの異なる個々のレベルのデータ生成プロセスが集約レベルの関連付けをもたらす可能性があるため、集約バイアスについて説明します）American Sociological Reviewの一連の記事 1970年代には、トピックに関する私のお気に入りの参考文献の一部があります（Firebaugh、1978; Hammond、1973; Hannan＆Burstein、1974）。ただし、このトピックに関する正規の出典は（Fotheringham＆Wong、1991; Oppenshaw、1984; Robinson、1950） 。多変量解析を実行するための集計データの制限に本当に悩まされていますが、データが取る可能性がある潜在的な境界を表すことは、潜在的に刺激を与える可能性があると思います。それは社会科学においてだれでもそれをすることを止めません（より良いまたはより悪い！）

（チャーリーがコメントで述べたように）キングの「解決策」はかなりの批判を受けた（Anselin＆Cho、2002; Freedman et al。、1998）ことに注意してください。これらの批評はキングの方法の数学については完全に言っているわけではありませんが、キングの方法が依然として集計バイアスを考慮に入れられない状況に関してはなおさらです（そして、私はフリードマンとアンセリンの両方に同意する社会科学は依然として疑わしいですが、キングの仮定を満たすものよりもはるかに一般的です）。これは、境界を調査することをお勧めする理由の一部です（それで問題はありません）が、そのようなデータから個々のレベルの相関について推論を行うと、ほとんどの状況で最終的に正当化されない信仰の飛躍がはるかに多くなります。

引用

• Anselin、L.＆WKT Cho（2002）。空間効果と生態学的推論。政治分析10（3）：276-297。
• Dobra A.＆SE Fienberg（2000）。限界合計と分解可能なグラフを指定した分割表のセルエントリの境界。全米科学アカデミー97（22）の議事録：11885-11892
• Firebaugh、G.（1978）。集計データから個々の関係を推測するためのルール。American Sociological Review 43（4）：557-572
• Fotheringham、AS＆DW Wong（1991）。多変量統計分析における修正可能な面積単位の問題。環境と計画A 23（7）：1025-1044
• フリードマン、DA、SPクライン、M。オストランド、およびMRロバーツ（1998）。レビューされた作品：G.キングによる生態学的推論問題の解決策。Journal of the American Statistical Association 93（444）：1518-1522。（PDFはこちら）
• ハモンド、JL（1973）生態学的相関における2つの誤差の原因。American Sociological Review 38（6）：764-777
• Hannan、MT＆L. Burstein（1974）。グループ化された観測からの推定。American Sociological Review 39（3）：374-392
• キングG.（1997）。生態学的推論問題の解決策：集計データからの個人の行動の再構築。プリンストン：プリンストン大学出版局。
• Lau O.、RT Moore＆M. Kellerman（2007）。eiPack：RXC生態学的推論および高次元データ管理。Rニュース7（2）：43-47
• オッペンショー、S。（1984）。修正可能な面積単位の問題。Norwich：Geo Books。（PDFはこちら）
• ロビンソン、WS（1950）。生態学的相関と個人の行動。American Sociological Review 15（3）：351-357。（PDFはこちら）

Google検索で基本的に多変量小面積推定に関する3つの使用可能な参照が提供されていることを考えると、これに関する明確な回答が文献に存在するかどうかはわかりません。Pfeffermann（2002）は、論文のセクション4で離散応答変数について説明していますが、これらは一変量モデルになります。もちろん、階層ベイズ法（Rao 2003、Ch。10）を使用すると、あらゆる種類の不思議を行うことができますが、結局、自分の事前情報を複製するだけである場合（データが非常に少ないため）、これはひどいことになります。シミュレーション演習の結果。さらに、Raoは連続変数のみを扱います。

最大の課題は、共分散行列を小領域間および小領域内のコンポーネントに分解することだと思います。サンプルが1％の場合、SAEからの観測値は3つしかないため、コンポーネント内の安定した推定値を取得するのは難しい場合があります。

私があなたの立場にいるなら、小さな領域の多変量ランダム効果を使って、Pfeffermannモデルの多変量拡張を試してみます。デザインベースで何も機能しない場合は、このための階層ベイズモデルが実際に作成される可能性があります。

更新（この回答に対するアンディのコメントに対処するため）：小面積推定のためのブートストラップ法（Lahiri 2003）は、特に研究からもっともらしい人口を再現します。ブートストラップ演習の焦点は、小領域の推定値の分散を推定することですが、手順は、投稿された問題に関心があり、関連性があるはずです。