チームスポーツごとに2人のプレーヤーで個々のプレーヤーの有効性を測定する

チームスコアのスプレッドシートがあります。最初のチームが10ポイント獲得。各チームには2人のプレーヤーがいます。プレーヤーは常に異なるチームメイトとプレイしますが、完全にランダムに選択されるわけではありません。個々のスコアは保持されません。

基本的に、ビルとボブはアンディ、アリスは10-4、ジェイクとビルはジョーとジョン10-8を破りました...

利用可能なすべての試合データに基づいて、個々のプレーヤーのランキングを決定することは可能ですか？基本的に、各プレーヤーがポイントの点で、または他のプレーヤーと比較して各ゲームにどれだけ貢献しているかを確認するには？

以下は、いくつかの非常に単純なモデルです。どちらも少なくとも1つの点で不十分ですが、おそらく構築するものを提供するでしょう。2番目のモデルは、実際にはOPのシナリオに対応していません（下記の備考を参照）が、何らかの形で役立つ場合に備えて、そのままにしておきます。

モデル1：Bradley–Terryモデルのバリアント

主に、各チームのプレーヤーに基づいて、あるチームが別のチームを倒すかどうかを予測することに関心があるとします。最終スコアを無視して、各ゲームでチーム1がプレイヤーチーム2をプレイヤーを使用してチーム2を破ったかどうかを記録するだけです。確かに、これはいくつかの情報を捨てていますが、多くの場合、これはまだ多くの情報を提供します。（k 、ℓ $(i,j)$$(k,\ell)$

モデルは

$$\mathrm{logit}(\mathbb P(\text{Team 1 beats Team 2})) = \alpha_i + \alpha_j - \alpha_k - \alpha_\ell \> .$$

つまり、各プレーヤーの「親和性」パラメーターは、そのプレーヤーがチームの勝利のチャンスをどれだけ改善するかに影響します。プレイヤーの「強さ」を定義します。次に、このモデルは P（チーム2チーム1拍）= sのI S $s_i = e^{\alpha_i}$

$$\mathbb P(\text{Team 1 beats Team 2}) = \frac{s_i s_j}{s_i s_j + s_k s_\ell} \>.$$

予測子と一致している限り、応答がどのようにコーディングされていても問題ないという点で、非常に優れた対称性があります。つまり、

$$\mathrm{logit}(\mathbb P(\text{Team 2 beats Team 1})) = \alpha_k + \alpha_\ell - \alpha_i - \alpha_j \> .$$

これはロジスティック回帰として簡単に当てはまる可能性があります。予測子は指標（各プレイヤーに1つ）であり、プレイヤーが問題のゲームのチーム1にいる場合は、チーム2にいる場合は、そうでない場合はそのゲームに参加します。i − 1 $+1$$i$$-1$$0$

これにより、プレイヤーの自然なランキングも得られます。大きな（または）、大きなプレーヤーは勝利の彼女のチームのチャンスを向上させます。そのため、推定係数に従ってプレーヤーを単純にランク付けできます。（アフィニティパラメータは、共通のオフセットまでしか識別できないことに注意してください。したがって、モデルを識別可能にするためにを修正するのが一般的です。）S α 1 = $\alpha$$s$$\alpha_1 = 0$

モデル2：独立したスコアリング

NB：OPの質問を読み直したところ、以下のモデルが彼のセットアップには不十分であることが明らかです。具体的には、OPは、あるチームまたは他のチームが一定数のポイントを獲得した後に終了するゲームに興味を持っています。以下のモデルは、期間が固定されているゲームにより適しています。OPのフレームワークによりよく適合するように変更を加えることができますが、開発するには別の回答が必要になります。

次に、スコアを追跡します。各チームが互いに独立してポイントを獲得するのが合理的な近似であり、任意の間隔で独立した任意の間隔で獲得したポイントの数であると仮定します。次に、各チームのスコアのポイント数をポアソン確率変数としてモデル化できます。

したがって、特定のゲームのプレイヤーとで構成されるチームのスコアが なるようにポアソンGLMを設定できますJのログ（μ ）= γ I + γ $i$$j$

$$\log(\mu) = \gamma_i + \gamma_j$$

このモデルはチーム間の実際の対戦を無視し、純粋にスコアリングに焦点を合わせていることに注意してください。

それはありません修正ブラッドリー・テリーモデルに興味深いの接続を持っています。を定義し、得点した最初のチームが勝つ「突然死」ゲームがプレイされると仮定します。チーム1にプレイヤーあり、チーム2にプレイヤー場合、 したがって、プレーヤーの平均得点率は、モデル1の「強度」パラメーター定式化と同等です。$\sigma_i = e^{\gamma_i}$$(i,j)$$(k,\ell)$

$$\mathbb P(\text{Team 1 beats Team 2 in sudden death}) = \frac{\sigma_i \sigma_j}{\sigma_i \sigma_j + \sigma_k \sigma_\ell} \>.$$

チームごとにがでチーム2をプレイする場合、各プレーヤーに「攻撃」アフィニティおよび「防衛」アフィニティを持たせることで、このモデルをより複雑にすることを検討できます。次に と δ I（I 、J ）（K 、ℓ ）ログ（μ 1）= ρ I + ρ J - δ K - δ ℓのログ（μ 2）= ρ K + ρ ℓ - δ I - δ $\rho_i$$\delta_i$$(i,j)$$(k,\ell)$

$$\log(\mu_1) = \rho_i + \rho_j - \delta_k - \delta_{\ell}$$ $$\log(\mu_2) = \rho_k + \rho_{\ell} - \delta_i - \delta_j$$

このモデルではスコアリングは依然として独立していますが、各チームのプレーヤー間に相互作用があり、スコアに影響します。プレイヤーは、親和係数の推定値に従ってランク付けすることもできます。

モデル2（およびそのバリアント）では、最終スコアの予測も可能です。

拡張：両方のモデルを拡張する便利な方法の1つは、ポジティブインジケーターが「ホーム」チームに対応し、ネガティブインジケーターが「アウェイ」チームに対応する順序を組み込むことです。モデルにインターセプト用語を追加すると、「ホームフィールドの利点」として解釈できます。他の拡張機能には、モデル1に同点の可能性を組み込むことが含まれる場合があります（実際にはモデル2で既に可能性があります）。

サイドノート：アメリカンカレッジフットボールのボウルチャンピオンシップシリーズに使用されるコンピューター化されたアンケート（ピーターウルフの）の少なくとも1つは、（標準）ブラッドリーテリーモデルを使用してランキングを作成します。

XBox Liveでプレイヤーをランク付けするために使用されるMicrosoftのTrueSkillアルゴリズムは、チームの試合に対処できますが、勝利のマージンは組み込まれていません。それはまだあなたにいくらかの役に立つかもしれません。

はい。

各プレイヤーの勝敗記録、およびポイント差を見ることができます。それは簡単な答えだと思いますが、これらの統計はまだ意味があります。

（これを前の回答のコメントとして追加したいのですが、当分の間、私の評判は十分ではありませんでした）

Martin O'LearyはTrueSkillアルゴリズムをリンクしており、これは良い選択肢です。（開発よりも）使用に興味がある場合は、ランク付けシステム、rankadeを試してみてください。TrueSkillと同様に、2人以上のプレイヤー（2対2のフーズボール、2対2の卓球、3対5と5対5のバスケットボールなど）で2つのファクションを管理できます。いくつかの顕著な違いは、とりわけ、ランケードはより構造化された派ionsの構築を可能にすることです（1-vs-1、派ion対派,、マルチプレイヤー、マルチファクション、協力ゲーム、非対称派ionsなど）、そしてそれは自由に使用できます。

最もよく知られているランキングシステムの比較を次に示します。