GLMの準ポアソンが負の二項分布の特殊なケースとして扱われないのはなぜですか？

私は、一般化線形モデルを、過剰分散の場合とそうでない場合のあるカウントデータのセットに適合させようとしています。ここで適用される2つの正準分布は、ポアソンおよび負の二項（Negbin）、EVおよび分散です$\mu$

$Var_P = \mu$

$Var_{NB} = \mu + \frac{\mu^2}{\theta}$

これは、それぞれglm(..,family=poisson)とを使用してRに適合させることができますglm.nb(...)。quasipoisson私の理解では同じEVと分散を持つ調整されたポアソンである家族もあります

$Var_{QP} = \phi\mu$、

すなわち、ポアソンとネビンの間のどこかに落ちます。準ポアソンファミリの主な問題は、それに対応する尤度がないことであり、したがって、非常に有用な統計的検定と適合度測定（AIC、LRなど）の多くが利用できません。

QPとNegbinの分散を比較すると、置くことでそれらを等化できることに気付くかもしれません。このロジックを続けると、準ポアソン分布をNegbinの特殊なケースとして表現することができます。$\phi = 1 + \frac{\mu}{\theta}$

$QP\,(\mu,\phi) = NB\,(\mu,\theta = \frac{\mu}{\phi-1})$、

すなわち、線形に依存する持つNegbin です。上記の式に従ってランダムな数列を生成し、それを当てはめることにより、このアイデアを検証しようとしました：$\theta$$\mu$glm

#fix parameters

phi = 3
a = 1/50
b = 3
x = 1:100

#generating points according to an exp-linear curve
#this way the default log-link recovers the same parameters for comparison

mu = exp(a*x+b) 
y = rnbinom(n = length(mu), mu = mu, size = mu/(phi-1)) #random negbin generator

#fit a generalized linear model y = f(x)  
glmQP = glm(y~x, family=quasipoisson) #quasipoisson
glmNB = glm.nb(y~x) #negative binomial

> glmQP

Call:  glm(formula = y ~ x, family = quasipoisson)

Coefficients:
(Intercept)            x  
    3.11257      0.01854  
(Dispersion parameter for quasipoisson family taken to be 3.613573)

Degrees of Freedom: 99 Total (i.e. Null);  98 Residual
Null Deviance:      2097 
Residual Deviance: 356.8    AIC: NA

> glmNB

Call:  glm.nb(formula = y ~ x, init.theta = 23.36389741, link = log)

Coefficients:
(Intercept)            x  
    3.10182      0.01873  

Degrees of Freedom: 99 Total (i.e. Null);  98 Residual
Null Deviance:      578.1 
Residual Deviance: 107.8    AIC: 824.7

両方の適合によりパラメーターが再現され、準ポアソンにより「合理的な」推定値が得られます。準ポアソンのAIC値も定義できるようになりました。$\phi$

df = 3 # three model parameters: a,b, and phi
phi.fit = 3.613573 #fitted phi value copied from summary(glmQP)
mu.fit = glmQP$fitted.values 

#dnbinom = negbin density, log=T returns log probabilities
AIC = 2*df - 2*sum(dnbinom(y, mu=mu.fit, size = mu.fit/(phi.fit - 1), log=T))
> AIC
[1] 819.329

（オブジェクトに見つからなかったため、からフィッティングされた値を手動でコピーする必要がありました）$\phi$summary(glmQP)glmQP

以来、これはquasipoissonは、当然、より良いフィット感であることを示すであろう。そのため、少なくともがすべきことを実行するため、のAIC（および拡張、尤度）の合理的な定義になる可能性があります。私が残されている大きな質問は A I C Q $AIC_{QP} < AIC_{NB}$$AIC_{QP}$

1. この考えは理にかなっていますか？私の検証は循環推論に基づいていますか？
2. よく確立されたトピックから欠落していると思われる何かを「発明」する人にとっての主な質問：このアイデアが理にかなっている場合、なぜ既に実装されていないのglmですか？

編集：図を追加しました

準ポアソンは完全な最尤（ML）モデルではなく、準MLモデルです。ポアソンモデルの推定関数（またはスコア関数）を使用して係数を推定し、特定の分散関数を使用して適切な標準誤差（または完全共分散行列）を取得して推論を実行します。したがって、glm()およびlogLik()/またはAIC()ここに供給しません

正しく指摘したように、sizeパラメーターが期待値とともに変化する場合、同じ期待値および分散関数を持つモデルを負の二項（NB）フレームワークに埋め込むことができます。文献では、これは一般的にNB1パラメーター化と呼ばれます。たとえば、Cameron＆Trivediの本（カウントデータの回帰分析）またはWinkelmann＆Boesによる「Analysis of Microdata」を参照してください。μ $\theta_i$$\mu_i$

いかなる回帰（単にインターセプト）NB1のパラメータ化によって採用NB2のパラメータ化が存在しない場合MASSのglm.nb()一致は。リグレッサーとは異なります。統計文献では、NB2パラメーター化がより頻繁に使用されていますが、一部のソフトウェアパッケージはNB1バージョンも提供しています。たとえば、Rでは、gamlssパッケージを使用して行うことができますgamlss(y ~ x, family = NBII)。NB2のパラメーター化とNB1 をやや混乱させてgamlss使用NBIすることに注意してくださいNBII。（ただし、専門用語と用語はすべてのコミュニティで統一されているわけではありません。）

それから、もちろん、NB1が利用可能な場合に準ポアソンを使用する理由を尋ねることができますか？まだ微妙な違いがあります：前者は準MLを使用し、二乗偏差（またはピアソン）残差から分散から推定値を取得します。後者は完全なMLを使用します。実際には、違いはそれほど大きくありませんが、どちらのモデルを使用する動機もわずかに異なります。