クリギング補間はどのように機能しますか？

私は、周囲のいくつかの変数に基づいていくつかの変数の値を予測するためにクリギングを使用する必要がある問題に取り組んでいます。自分でコードを実装したい。それで、私はそれがどのように機能するかを理解するためにあまりにも多くの文書を調べましたが、私はとても混乱していました。一般に、加重平均だと理解していますが、重みを計算して変数の値を予測するプロセスを完全には理解できませんでした。

誰かがこの補間方法の数学的な側面とそれがどのように機能するかを簡単な言葉で私に説明していただけますか？

この回答は、「通常のクリギング」のささやかな一般化である「ユニバーサルクリギング」（英国）の（適度な）時空間拡張を説明する論文のために私が最近書いた紹介セクションで構成されています。3つのサブセクションがあります。理論は統計モデルと仮定を提供します。推定では、最小二乗パラメーター推定を簡単に確認します。そして予測は、クリギングが一般化最小二乗（GLS）フレームワークにどのように適合するかを示しています。私は、統計学者、特にこのサイトへの訪問者に馴染みのある表記法を採用し、ここで十分に説明されている概念を使用するように努力しました。

要約すると、クリギングは、ランダムフィールドの最良の線形不偏予測（BLUP）です。 つまり、サンプリングされていない場所での予測値は、サンプリングされた場所で観測された値と共変量の線形結合として取得されます。そこでの（未知の、ランダムな）値には、サンプル値との相関関係が想定されています（サンプル値はそれらの間で相関関係があります）。この相関情報は、予測の分散に容易に変換されます。予測のバイアスがゼロの条件に従って、この分散を可能な限り小さくする線形結合（「クリギングの重み」）の係数を選択します。詳細は以下の通りです。

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理論

英国は、調査地域のGLSモデルのコンテキストで実行される2つの手順（推定と予測の1つ）で構成されています。GLSモデル想定は、サンプルデータのこと傾向の周りのランダムな偏差の結果であり、それらの偏差が相関していること。傾向は、の線形結合によって決定することができる値の一般的な意味で意図されるp個の未知の係数（パラメータ）β = （β 1、β 2、... 、$z_i,\ (i = 1, 2, ..., n)$$p$。（この投稿全体を通して、素数 'は行列転置を示し、すべてのベクトルは列ベクトルと見なされます。）$\beta=(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_p)^\prime$$^\prime$

調査領域内の任意の場所で、「独立変数」または「共変量」と呼ばれる数値属性タプルを利用できます。（通常、y 1 = 1は「定数項」であり、y 2およびy 3は空間座標であり、追加のy $\mathbf y = (y_1, y_2, \ldots, y_p)^\prime$$y_1 = 1$$y_2$$y_3$$y_i$$i$$y_i = (y_{i1}, y_{i2}, \ldots, y_{ip})^\prime$$z_i$$Z_i$$y_i$$y_i$$Z_i$

$${\bf{E}}\left[ {Z_i } \right] = {\bf{y'}}_i {\bf{\beta }} = y_{i1} \beta _1 + y_{i2} \beta _2 + \cdots + y_{ip} \beta _p$$ $Z_i$$\beta$$i$$\hat\beta_i$$\beta_i$$i = 1, 2, \ldots, n$$i = 0$$z_0$$y_0^\prime\beta$$0$。たとえば、コンターに適したポイントの規則的なグリッドに沿ってサーフェスをマッピングするために、予測がよく行われます。

推定

$Z_i$$Z_i$$Z_j$$c_{ij}$

$$\hat\beta=\bf{Hz},\ {\bf{H}} = \left( {{\bf{Y'C}}^{{\bf{ - 1}}} {\bf{Y}}} \right)^{{\bf{ - 1}}} {\bf{Y'C}}^{{\bf{ - 1}}}$$ ${\bf {z}} = (z_1, z_2, \ldots, z_n)$$n$${\bf Y} = (y_{ij})$$n$$p$$y_i^\prime, 1 \le i \le n$$\mathbf C = (c_{ij})$$n$$n$$p$$n$$\mathbf H$$\mathbf z$$\hat \beta$$\hat\beta$$\mathbf C = (c_{ij})$

予測

$z_0$

$$\hat z_0 = \lambda _1 z_1 + \lambda _2 z_2 + \cdots + \lambda _n z_n = {\bf{\lambda 'z}}.$$ $\lambda_i$$z_0$$z_0$$Z_i$$Z_0$ $$0 = {\bf{E}}\left[ {\hat Z_0 - Z_0 } \right] = {\bf{E}}\left[ {{\bf{\lambda 'Z}} - Z_0 } \right].$$ $n+1$$Z_0$$\mathbf Z = (Z_1, Z_2, \ldots, Z_n)$ $$\eqalign{ 0 &= {\bf{E}}\left[ {{\bf{\lambda 'Z}} - Z_0 } \right] = {\bf{\lambda 'E}}\left[ {\bf{Z}} \right] - {\bf{E}}\left[ {Z_0 } \right] = {\bf{\lambda '}}\left( {{\bf{Y\beta }}} \right) - {\bf{y'}}_0 {\bf{\beta }} = \left( {{\bf{\lambda 'Y}} - {\bf{y'}}_0 } \right){\bf{\beta }}\\ &= {\bf{\beta '}}\left( {{\bf{Y'\lambda }} - {\bf{y}}_0 } \right) }$$

$\beta$

$$\hat{\mathbf Y}^\prime \lambda = \mathbf{y}_0.$$

$\lambda$$\hat Z_0 - Z_0$

$${\rm{Var}}\left( {\hat Z_0 - Z_0 } \right) = {\bf{E}}\left[ {\left( {\hat Z_0 - Z_0 } \right)^2 } \right] = {\bf{E}}\left[ {\left( {{\bf{\lambda 'Z}} - Z_0 } \right)^2 } \right] = c_{00} - 2{\bf{\lambda 'c}}_0 + {\bf{\lambda 'C\lambda }}$$ $\mathbf c_0 = (c_{01}, c_{02}, \ldots, c_{0n})^\prime$$Z_0$$Z_i,\ i \ge 1$$c_{00}$$Z_0$

$\lambda$$p$$\mu$$\hat{\mathbf Y}^\prime \lambda = \mathbf{y}_0$$n+p$

$$\left( {\begin{array}{*{20}c} {\bf{C}} & {\bf{Y}} \\ {{\bf{Y'}}} & {\bf{0}} \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} {\bf{\lambda }} \\ {\bf{\mu }} \\ \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} {{\bf{c}}_{\bf{0}} } \\ {{\bf{y}}_{\bf{0}} } \\ \end{array}} \right)$$ $\mathbf 0$$p$$p$$\mathbf 1$$n$$n$$\lambda$ $${\bf{\lambda }} = {\bf{H'y}}_0 + {\bf{C}}^{ - 1} \left( {{\bf{1}} - {\bf{YH}}} \right){\bf{c}}_0.$$

（重回帰に精通している読者は、このソリューションを通常と同じ最小二乗正規方程式の共分散ベースのソリューションと比較することが有益であると感じるかもしれません。

$\lambda$$[\mathbf H^\prime\, \mathbf y_0]$$Z_0$$\hat z_0$