t分布に従って正確に何が分布されますか？

t分布の背後にある考え方を理解しようとします。これまでに理解した手順は次のとおりです。

1. N要素のサンプルを使用して、母平均を推定します。詳細には、母平均の推定値としてサンプル平均を使用します。
2. 見積もりが実際の値にどれだけ近いかを知りたいのです。または、より具体的には、母平均が特定の確率でこの間隔内にあると言えるように、サンプル平均の周囲の間隔をどのくらい大きくする必要があるかを知りたいです。
3. この質問に答えるために、母集団の値は、既知の平均と標準偏差をもつ正規分布に従って分布していると仮定します。
4. 母集団内の値の分布のパラメータがあれば、母集団の分布と標本のサイズの関数として、標本平均の分布を計算できます。
5. 標本平均の分布も、次の数式で与えられる母集団分布と標準偏差と同じ平均の正規分布であることを示すことができます。ここで、は標本のサイズです。$s = \sigma/\sqrt{N}$$N$
6. サンプル平均の分布があれば、サンプル平均が実際の平均からXだけ離れている確率を簡単に計算できます。つまり、母平均がサンプル平均の周りの特定の間隔内にある確率を計算できます。 。
7. ほぼ必要なものです。唯一の問題は、実際の設定では、母集団の分布の標準偏差がわからないことが多いことです（これは、母集団の平均値の周囲に標本平均がどのように分布するかを決定するパラメーターです）。
8. 私たちにできることは、母集団標準偏差を標本標準偏差で置き換えることです。言い換えると、正確な未知のパラメータを、その概算で置き換えます。

だから、これが今のところです。母集団STDを標本STDで置き換えることにより、標本平均の分布の推定をさらに悪くします。そして、分布のパラメーターのこの「誤った」値を「補正」するために、分布の形状を変更します（これは正規分布ではなくなったと言います。これはt分布です）。しかし、t分布に従って正確に何が分布されるのでしょうか。母集団STDがわかっている場合、標本平均が母集団平均の周囲にどのように分布しているかがわかります。これで、母集団のSTDはわかりませんが、母集団の平均値の周りの標本平均の分布は変わりません。

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場合平均とIID通常観察のサンプルでおよび分散、次いで標準化平均 であります標準ノーマル。さて、ご指摘のとおり、実際にはません。したがって、をサンプル推定値置き換え、代わりに「された」平均を考慮し ます。この確率変数は、上記のものとは少し異なります。その結果、その分布はわずかに非正規、つまり自由度スチューデントになります。 μ σ 2 ˉ Xのn - $X_1, \dots, X_n$$\mu$$\sigma^2$ σσST= ˉ X N-

$$\frac{\bar X_n-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$$ $\sigma$$\sigma$$S$ n− $$T = \frac{\bar X_n-\mu}{S/\sqrt{n}}$$ $n-1$

小さすぎない、は（サンプル標準偏差の整合性）に近くなります。次に、標準化された平均は、学生の平均に非常に近くなります。これが、多くの自由度を持つスチューデント分布が通常のように見える理由を説明しています。S $n$$S$$\sigma$

スチューデント化平均は、信頼区間と仮説検定を導出するための開始点です。$\mu$

例：下の95％信頼限界を見つけるにはのために、次の方程式解く のために。これを行うには、スチューデント化平均が表示されるように確率の方程式を変更します（サブステップを理解してみてください）： 次に、 dfのスチューデント分布があるという事実を使用して、確率を取り除きます： ここでは対応する95％分位数です。したがって、 μP$\bar X_n -c$$\mu$

$$P(\bar X_n -c \le \mu) = 0.95$$ $c$ $$P(T \le \frac{c}{S/\sqrt{n}}) = 0.95.$$ $T$$n-1$ $$\frac{c}{S/\sqrt{n}} = qt_{0.95;n-1},$$ $qt_{0.95;n-1}$ˉXN- $$c = \frac{S}{\sqrt{n}} \cdot qt_{0.95;n-1}$$ （有名な）信頼限界の下限は次のとおりです： $$\bar X_n - \frac{S}{\sqrt{n}} \cdot qt_{0.95;n-1}$$