ベータ分布の注文統計

ましょう IIDから引くこと。最小および最大次数統計はそれぞれどのように分散されますか？ $x_1,\dots,x_n$ $Beta\left(\frac{k}2,\frac{k-p-1}{2}\right)$

できれば参考にしていただければ幸いです。一般的に、私は次数統計の導出に慣れていません。

編集：ベータ分布が均一分布の統計として解釈できることを考えると、ベータ分布の最小値または最大値は別のベータ分布に従って分布していると思います。 $k$

Edit_2：たまたま気になっている、もう少し正確な設定を追加しました。結局、私は最小値と最大値のテールバウンドを探しているので、どんな形でもこれらにつながるので満足です。私は最終的に漸近的なケースにも興味がありますが、いわば私の次の関心事です。

order-statistics beta-distribution

— 鱗翅目
ソース

あなたはあなたが必要とする回答の形式を言及したいと思うかもしれません。一般に、PDFは、不完全なベータ関数の累乗の多項式倍になります。これは、数値化する場合を除いて、単純化したり、計算したりできない可能性があります。

— whuber

@whuber、私は2番目の編集であなたの質問に答えようとしました。最初に、設定を自分の興味にもう少し特定するように変更しました。第二に、私は主にこれら両方のテールバウンドに関心があります。それへのリードが何であれ私を幸せにします。なぜそれがベータ版のディストリビューションである必要があるのか、私の主張は正しいですか（少なくとも場合によっては）。

— 鱗翅類

（a）で最小値を求め、（b）で最大値を求めるときに、あなたの議論は当てはまると思います。それ以外の場合、一連の中間次数統計の極値は次数統計と同じではないため、適用されません。

k / 2 = 1

$k/2=1$

(k - p - 1) / 2 = 1

$(k-p-1)/2=1$

— whuber

より一般的なケースが必ずしもはないことに興味があります。実際、最終的に私はとが無限大になったときに何が起こるかを計算したいと思います。

(k - p - 1) / 2

$(k-p-1)/2$

1

$1$

k

$k$

p

$p$

— 鱗翅類

また、と関係についても、両方とも無限大になるため、何かを指定する必要があります。一方が他方よりも速く動きますか？

k

$k$

p

$p$

— MichaelChirico

親確率変数ましょ $X \sim Beta(a,b)$ のPDFと $f(x)$ ：

_{（ソース：tri.org.au）}

次に、サイズ $n$ サンプルが与えられた、 $1^{st}$ 次の統計（最小サンプル） pdfは次のようになります。

_{（ソース：tri.org.au）}

...そして $n^{th}$ 次の統計量のpdf （最大サンプル）は次のとおりです。

_{（ソース：tri.org.au）}

どこ：

MathematicaOrderStatのmathStaticaパッケージの関数を使用して、重要な点を自動化しています
Beta[x,a,b] $B_x(a,b) = \int _0^x t^{a-1} (1-t)^{b-1} d t$
サポートのドメインは（0,1）です。

— 狼
ソース