凸状の順序付けは、右尾の優位性を意味しますか？

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2つの連続分布と与えられた場合、それらの間の凸支配の関係がどうかはわかりません： $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$

(0) F_{X} <_{c} F_{Y}

$(0)\quad \mathcal{F}_X <_c \mathcal{F}_Y$

ことを意味します

(1) F_{Y}^{- 1} (q) \leq F_{X}^{- 1} (q), \forall q \in [0.5, 1]

$(1)\quad F_Y^{-1}(q) \leq F_X^{-1}(q),\quad \forall q\in[0.5,1]$

が成立するか、が成立する場合、さらに仮説が必要か？ $(1)$

凸支配の定義。

2つの連続分布および条件を満たす場合： $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$

(2) F_{Y}^{- 1} F_{X} (x) is convex in x

$(2)\quad F_Y^{-1}F_X(x)\text{ is convex in } x$

[0]それから私達は書きます：

F_{X} <_{c} F_{Y}

$F_X <_c F_Y$

そして、はよりも右に歪んでいると言います。およびは確率分布であるため、は、の導関数が単調に非減少かつ非負[1]であることも、そのは凸型[2]であり、と互いに最大で2回交差します [2]とその[2]、： $\mathcal{F}_Y$ $\mathcal{F}_X$ $F_X$ $F_Y$ $(2)$ $F_Y^{-1}F_X(x)$ $F_Y^{-1}F_X(x)-x$ $F_X$ $F_{aY+b}$ $\forall a>0,b\in\mathbb{R}$ $\forall p\in[0,0.5]$

\frac{F_{X}^{- 1} (p)}{F_{Y}^{- 1} (p)} \geq \frac{F_{X}^{- 1} (1 - p)}{F_{Y}^{- 1} (1 - p)} .

$\frac{F^{-1}_X(p)}{F^{-1}_Y(p)}\geq\frac{F^{-1}_X(1-p)}{F^{-1}_Y(1-p)}.$

[0] Zwet、WR van（1964）。ランダム変数の凸変換。（1964）。Amterdam：Mathematish Centrum。
[1] Oja、H.（1981）。一変量分布の位置、スケール、歪度、および尖度について。統計のスカンジナビアジャーナル。巻。8、pp.154-168
[2] RA GroeneveldおよびG. Meeden。（1984）。歪度と尖度の測定。統計家。33：391-399。

probability probability-inequalities distributions

— user603
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1

最後の不等式にエラーがあると思います-それが保持している場合、対称性は等式であることを意味します、これは対に対して対称になります。

\forall p \in [0, 1]

$\forall p \in [0,1]$

\frac{F_{X}^{- 1} (p)}{F_{Y}^{- 1} (p)} = \frac{F_{X}^{- 1} (1 - p)}{F_{Y}^{- 1} (1 - p)}

$\frac{F^{-1}_X(p)}{F^{-1}_Y(p)}=\frac{F^{-1}_X(1-p)}{F^{-1}_Y(1-p)}$

X

$X$

Y

$Y$

— Juho Kokkala 2015年

1

[2]の式（6）の後にがあることに注意してください。

α \in (0, \frac{1}{2})

$\alpha \in (0,\frac{1}{2})$

— Juho Kokkala 2015年

あなたは正しいです。私の悪い。私は今これを修正します。

— user603

2

一般的にはそうではありません。たとえば、 and。 $\mu=\frac{3}{8} \delta_{-1}(x)+\frac{1}{4}\delta_0(x)+\frac38 \delta_1(x)$ $\nu=\frac12\delta_{-\frac12}(x)+\frac12\delta_{\frac12}(x)$

がすぐにわかります。ただし、です。ただし、特定の以降、すべてのに対してになることは事実です。 $\nu\leq_{cx}\mu$ $F_\mu^{-1}(0.6)=0<\frac12 =F_\nu^{-1}(0.6)$ $\bar{q}$ $F_\mu^{-1}(q)<F_\nu^{-1}(q)$ $q>\bar q$

— user123456
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この回答に説明を追加していただけませんか？私たちの基準には少し短いです！

— kjetil b halvorsen 2016

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わかりました、これはそのように解決できると思います（コメント歓迎）：

示す及びの分布とと呼び出しています $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$ $X$ $Y$

F_{X} <_{c} F_{Y}

$\mathcal{F}_X <_c \mathcal{F}_Y$

（王者、1981）を意味し、その：その結果 $\exists z^*\in\mathbb{R}$

F_{Y} (z) < F_{X} (z), \forall z > z^{*} .

$F_Y(z)<F_X(z),\forall z>z^*.$

シフトは凸の順序付けに影響を与えないので、一般性を失うことなく、がシフトされたと仮定できます。 $X$

z^{*} ⩽ min (F_{X}^{- 1} (0.5), F_{Y}^{- 1} (0.5))

$z^*\leqslant\min(F^{-1}_X(0.5),F^{-1}_Y(0.5))$

そのため

F_{Y}^{- 1} (q) ⩽ F_{X}^{- 1} (q), \forall q \in [0.5, 1] .

$F_Y^{-1}(q) \leqslant F_X^{-1}(q),\quad \forall q\in[0.5,1].$

したがって、はい、凸の順序付けは、よりも右テール優位であることを意味します（正確には、いくつかのバージョン /） $\mathcal{F}_X<_c \mathcal{F}_Y$ $F_Y(y)$ $F_X(x)$ $F_{X+b}(x),\;b\in\mathbb{R}$ $F_X(x)$

— user603
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