層および層と共変量の相互作用を持つCoxモデルの適合は、2つのCoxモデルの適合とは異なりますか？

回帰モデリング戦略ハレル（第2版）によってセクション（S. 20.1.7）主効果生存に対する我々は（以下の例では年齢）も推定する共変量の間の相互作用を含むコックスモデルを検討し、あります主効果を推定したくない共変量（下の例では性別）。

具体的には、母集団では（未知、真）ハザード $h(t)$ がモデルに従うと仮定します

h (t) = {\begin{cases} h_{f} (t) \exp (β_{1} age), & for female patiens \\ h_{m} (t) \exp ((β_{1} + β_{2}) age), & for male patiens \end{cases}

$h(t) = \begin{cases} h_f(t) \exp(\beta_1 \textrm{age}), & \textrm{for female patiens} \\ h_m(t) \exp((\beta_1 + \beta_2) \textrm{age}), & \textrm{for male patiens} \end{cases}$

h_{f}

$h_f$ 、

h_{m}

$h_m$ 未知です、真の、ベースラインハザード関数と推定されるべきではなく

β_{1}

$\beta_1$ 、

β_{2}

$\beta_2$ 未知の、データから推定される真のパラメーターです。

（この例はほとんど文字通り本から取られています。）

ハレルは、上記の状況を成層コックスモデルモデル1として書き直すことができると述べています。

h (t) = h_{gender} (t) \exp (β_{1} age + β_{2} X)

$h(t) = h_{\textrm{gender}}(t) \exp(\beta_1 \textrm{age} + \beta_2 X)$ '対話用語'

X

$X$ 男性女性、年齢はゼロに等しいです。それは我々が推定するための標準的な技術を使用できることを意味しますので、これは便利です

β_{1}

$\beta_1$ および

β_{2}

$\beta_2$ 。

さて、質問です。2人の研究者AとBに、上記の母集団から抽出された患者の同じサンプルが与えられたとします。研究員Aフィットモデル1、取得推定値は、 $\hat{\beta}_1$ $\hat{\beta}_2$ 、真のパラメータがために $\beta_1, \beta_2$ 信頼区間と一緒に。

研究者Bは、二つの通常の（すなわちunstratisfied）コックス・モデルをフィッティングのより単純なアプローチをとる：モデルA：

h (t) = h_{f} (t) \exp (γ_{1} age)

$h(t) = h_f(t)\exp(\gamma_1 \textrm{age})$ のみの試料との女性患者にモデル2B：

h (t) = h_{m} (t) \exp (γ_{2} age)

$h(t) = h_m(t)\exp(\gamma_2 \textrm{age})$ のみ試料中の男性患者に。こうして推定取得

\hat{γ_{1}}

$\hat{\gamma_1}$ 、

\hat{γ_{2}}

$\hat{\gamma_2}$ 真のパラメータを

β_{1}, β_{1} + β_{2}

$\beta_1, \beta_1 + \beta_2$ と共に信頼区間で、それぞれ。

質問：

これらの推定値は（という意味では必ずしも同じ、）？（両方の研究者が同じデータを見ていることを思い出してください。） $\hat{\beta}_1 = \hat{\gamma}_1$ $\hat{\beta}_2 = \hat{\gamma}_2 - \hat{\gamma}_1$
信頼区間は必ずしも同じですか？
それは研究者Aは、ケースには研究者Bの上に心理的な利点を持っていると言っては何の意味も持たないことに $\beta_2 = 0$ 、研究者Aは、そのスイッチより倹約モデルの推定に疑い、より多くの可能性が高いため $h(t) = h_{\textrm{gender}}(t)\exp(\beta_1 \textrm{age})$ ？

survival cox-model stratification

— ビンセント
ソース

各パラメーターを推定する必要があるモデル（通常の最小二乗など）では、2つの別々のモデルが相互作用項を持つ単一モデルと同じ推定値を持つ状況を作成できます。例えば、我々は持っている可能性があり：、により要約： $Y_M=\alpha_M+\beta_M*age$ $Y_F=\alpha_F+\beta_F*age$ 。これにより、切片と勾配の両方で性差を直接推定できます。実際には：。その場合、ユニークなモデルにより、性別の違いについてすぐに考えられるようになることに同意します（相互作用パラメーター、 $Y=\lambda+\lambda_F*F+\gamma*age+\gamma_F*F*age$ $\alpha_M=\lambda, \beta_M=\gamma, \alpha_F-\alpha_M=\lambda_F,\beta_F-\beta_M=\gamma_F$ $\lambda_F$ 、勾配の違いはより明確な解釈を持ち、あなたの質問はそれを参照しているため）。ただし、Coxモデルでは状況が異なります。まず、回帰に性別を含めない場合、理由があります。つまり、性別が比例ハザードの仮定を満たさないということです。また、性別を相互作用用語とする一意のモデルを構築する場合、共通のベースラインハザード関数を想定しています（意味を誤解していない限り）。ハザード関数、したがって異なるモデルが暗示されています。 $h_{\textrm{gender}}(t)$

たとえば、Kleinbaum and Klein、2012年、「Statistics for Biology and Health」シリーズの一部の「Survival Analysis」の章を参照してください。

— フェデリコ・テデスキ
ソース