MCMC for PDFのcdfsに相当するものは何ですか？

特定のコピュラ、つまりで定義された多変量cdfからのシミュレーションに関する相互検証された質問と共に、私はより大きな図、つまり、そのような関数が与えられた場合、対応する確率分布からシミュレーションする一般的なアルゴリズムを計算できますか？、[ 0 、1 $C(u_1,\ldots,u_k)$$[0,1]^k$

明らかに、一つの解決策は、区別することである対応するPDF生成するために時間をし、その後からのサンプルを生成するメトロポリス・ヘイスティングスような一般的なMCMCアルゴリズムを呼び出す（又は）。k個のκ （U 1、... 、U K）C $C$ $k$$\kappa(u_1,\ldots,u_k)$$C$$\kappa$

余談：別の解決策は、シミュレーションにラプラススティエルス変換を使用して、アルキメデスのコピュラに固執することですが、これは実際には常に可能であるとは限りません。上記の質問を解決しようとしたときに私が見つけたように。

私の質問は、可能であれば、この差別化ステップを一般的な方法で回避することです。

これは私が完全に処理できなかった試みですが、コメントセクションには長すぎます。非常に低い別の基本的な代替としてここに置くと便利かもしれません。明示的な微分+ MCMCは必要ありません（ただし、MCMCなしで数値微分を実行します）。$k$

アルゴリズム

以下のための小さな：$\varepsilon > 0$

1. 描画。これは簡単に描画することによって行うことができるηを〜制服[ 0 、1 ]と算出C - 1 1（η ）（どちらかといえば、容易に数値的に行うことができます）。これが限界PDFから抽選で、U 1〜κ $u_1 \sim C_1 \equiv C(U_1 = u_1,U_2 = 1,\ldots, U_k = 1)$$\eta \sim \text{Uniform}[0,1]$$C_1^{-1}(\eta)$。$u_1 \sim \kappa(u_1)$
2. $j = 2\ldots k$
   • CO（2J-1）CD（ε ） J D（ε ） J εUJU1、...、Uj− $$D_j^{(\varepsilon)}(u_j|u_1,\ldots,u_{j-1}) \equiv \Pr\left( u_1 - \frac{\varepsilon}{2} \le U_1 \le u_1 + \frac{\varepsilon}{2} \land \dots \land u_{j-1} - \frac{\varepsilon}{2} \le U_{j-1} \le u_{j-1} + \frac{\varepsilon}{2} \land U_{j} \le u_j \land U_{j+1} \le 1 \dots \land U_{k} \le 1\right),$$ $C$$O(2^{j-1})$$C$$D_j^{(\varepsilon)}$$D_j^{(\varepsilon)}$$\varepsilon$$u_j$$u_1, \ldots, u_{j-1}$
   • 点1を描画します。これも、数値の反転で簡単に実行できます。$u_j \sim D_j^{(\varepsilon)}(u_j|u_1,\ldots,u_{j-1})$

討論

このアルゴリズムは、からIIDサンプルを生成する必要がの-approximation、単に数値精度に依存します。近似を洗練し、数値的に安定させるための実用的な技術があります。C （U 1、... 、U K）$\varepsilon$$C(u_1,\ldots,u_k)$$\varepsilon$

明らかな問題は、計算の複雑さがとしてスケーリングすることです。そのため、大まかに言えば、これはに関して非常に一般的ではありません（ただし、リンクした例にはがあったため、おそらくこの方法は完全に役に立たないわけではありません-cdfにアクセスできる典型的なシナリオには詳しくありません）。一方、非常に低次元の分布では機能し、コストは「微分+ MCMC」の他の一般的なソリューションとは異なり、導関数を計算する必要がないという事実によって補償されます。サンプルはiidであり、チューニングなし（選択は別として）、K 、K = 3 $O(2^{k})$$k$$k = 3$$\varepsilon$、これはマシンの精度よりわずかに高いはずです）。そしておそらくこれを素朴なアプローチよりも良くする方法があるでしょう。

先ほど触れたように、これは頭のてっぺんにあるので、他の問題があるかもしれません。