RでのPCAの視覚化：データポイント、固有ベクトル、射影、信頼楕円

私は17人のデータセットを持ち、77のステートメントをランク付けしています。ステートメント間（ケースとして）の人（変数）間の相関の転置相関行列の主成分を抽出したい。奇妙なことに、Qメソドロジと呼ばれています。

データのペアのみの固有値/ベクトルを抽出して視覚化することにより、このコンテキストでPCAがどのように機能するかを説明します。（私の分野では PCAを取得している人はほとんどいないため、QAへの適用はもちろんのこと、私も含まれます）。

私の実際のデータに対してのみ、この素晴らしいチュートリアルからの視覚化が必要です。

これを私のデータのサブセットにしましょう：

Person1 <- c(-3,1,1,-3,0,-1,-1,0,-1,-1,3,4,5,-2,1,2,-2,-1,1,-2,1,-3,4,-6,1,-3,-4,3,3,-5,0,3,0,-3,1,-2,-1,0,-3,3,-4,-4,-7,-5,-2,-2,-1,1,1,2,0,0,2,-2,4,2,1,2,2,7,0,3,2,5,2,6,0,4,0,-2,-1,2,0,-1,-2,-4,-1)
Person2 <- c(-4,-3,4,-5,-1,-1,-2,2,1,0,3,2,3,-4,2,-1,2,-1,4,-2,6,-2,-1,-2,-1,-1,-3,5,2,-1,3,3,1,-3,1,3,-3,2,-2,4,-4,-6,-4,-7,0,-3,1,-2,0,2,-5,2,-2,-1,4,1,1,0,1,5,1,0,1,1,0,2,0,7,-2,3,-1,-2,-3,0,0,0,0)
df <- data.frame(cbind(Person1, Person2))
g <- ggplot(data = df, mapping = aes(x = Person1, y = Person2))
g <- g + geom_point(alpha = 1/3)  # alpha b/c of overplotting
g <- g + geom_smooth(method = "lm")  # just for comparison
g <- g + coord_fixed()  # otherwise, the angles of vectors are off
g

測定により、次のデータに注意してください。

• ...の平均はゼロです。
• ...完全に対称です。
• ...そして、両方の変数で等しくスケーリングされます（相関行列と共分散行列の間に違いがないはずです）

ここで、上記の2つのプロットを結合します。

corre <- cor(x = df$Person1, y = df$Person2, method = "spearman")  # calculate correlation, must be spearman b/c of measurement
matrix <- matrix(c(1, corre, corre, 1), nrow = 2)  # make this into a matrix
eigen <- eigen(matrix)  # calculate eigenvectors and values
eigen

与える

> $values
> [1] 1.6 0.4
>
> $vectors
>     [,1]  [,2]
> [1,] 0.71 -0.71
> [2,] 0.71  0.71
>
> $vectors.scaled
>     [,1]  [,2]
> [1,]  0.9 -0.45
> [2,]  0.9  0.45

そして次に進む

g <- g + stat_ellipse(type = "norm")
  # add ellipse, though I am not sure which is the adequate type
  # as per https://github.com/hadley/ggplot2/blob/master/R/stat-ellipse.R
eigen$slopes[1] <- eigen$vectors[1,1]/eigen$vectors[2,1]  # calc slopes as ratios
eigen$slopes[2] <- eigen$vectors[1,1]/eigen$vectors[1,2]  # calc slopes as ratios
g <- g + geom_abline(intercept = 0, slope = eigen$slopes[1], colour = "green")  # plot pc1
g <- g + geom_abline(intercept = 0, slope = eigen$slopes[2], colour = "red")  # plot pc2
g <- g + geom_segment(x = 0, y = 0, xend = eigen$values[1], yend = eigen$slopes[1] * eigen$values[1], colour = "green", arrow = arrow(length = unit(0.2, "cm")))  # add arrow for pc1
g <- g + geom_segment(x = 0, y = 0, xend = eigen$values[2], yend = eigen$slopes[2] * eigen$values[2], colour = "red", arrow = arrow(length = unit(0.2, "cm")))  # add arrow for pc2
# Here come the perpendiculars, from StackExchange answer /programming/30398908/how-to-drop-a-perpendicular-line-from-each-point-in-a-scatterplot-to-an-eigenv ===
perp.segment.coord <- function(x0, y0, a=0,b=1){
#finds endpoint for a perpendicular segment from the point (x0,y0) to the line
# defined by lm.mod as y=a+b*x
  x1 <- (x0+b*y0-a*b)/(1+b^2)
  y1 <- a + b*x1
  list(x0=x0, y0=y0, x1=x1, y1=y1)
}
ss <- perp.segment.coord(df$Person1, df$Person2, 0, eigen$slopes[1])
g <- g + geom_segment(data=as.data.frame(ss), aes(x = x0, y = y0, xend = x1, yend = y1), colour = "green", linetype = "dotted")
g

このプロットは、PCAでの固有ベクトル/固有値の抽出を適切に示していますか？

• ベクターの適切な楕円または長さ、あるいはその両方がどうなるかわかりません（または問題ではありませんか？）
• 私は、ベクトルの勾配が1である-1と推測していますが、これは私のデータ（ランキング？対称性？）によるものであり、他のデータでは異なるでしょう。

Ps .:これは上記のチュートリアルとこのCrossValidated質問に基づいています。

Pps .:ベクトルにドロップされた垂線は、このStackExchangeの回答の礼儀正しい

ここで答えることはあまりありません。スクリプトに問題があったようですが、現在は修正されています。現在、視覚化には何の問題もありません。実際、私はそれを非常に素晴らしく適切なイラストで見つけています。

残りの質問に答えるには：

1. @whuberがコメントで述べたように、主軸の勾配は、標準化された2次元データセット（つまり、相関行列を使用している場合）の場合、常にとになります。ここで私の答えを参照してください：2つの変数の相関行列は常に同じ固有ベクトルを持っていますか？$1$$-1$

2. （のソースコードについての私の理解によると）プロットした楕円stat_ellipse()は、多変量正規分布を仮定した95％のカバレッジ楕円です。これは合理的な選択です。別のカバレッジが必要な場合はlevel、入力パラメーターで変更できますが、95％はかなり標準的で大丈夫です。