長期分散とは何ですか？

時系列分析の分野での長期分散はどのように定義されますか？

データに相関構造がある場合に利用されることを理解しています。したがって、確率過程は$X_1, X_2 \dots$ iidのランダム変数のファミリーではなく、同じようにのみ分布していますか？

概念の概観とその推定に伴う困難について、標準的な参考資料を入手できますか？

これは、シリアル依存がある場合のサンプル平均の標準誤差の尺度です。

場合$Y_t$持つ共分散静止している$E(Y_t)=\mu$及び$Cov(Y_t,Y_{t-j})=\gamma_j$（！IIDの設定で、この量はゼロである）ように$\sum_{j=0}^\infty|\gamma_j|<\infty$。次いで

$$\lim_{T\to\infty}\{Var[\sqrt{T}(\bar{Y}_T- \mu)]\}=\lim_{T\to\infty}\{TE(\bar{Y}_T- \mu)^2\}=\sum_{j=-\infty}^\infty\gamma_j=\gamma_0+2\sum_{j=1}^\infty\gamma_j,$$ 最初の平等は定義的であり、2番目は確立するのがもう少し難しいその意味定常の第三のAの結果、$\gamma_j=\gamma_{-j}$。

したがって、問題は確かに独立性の欠如です。より明確にこれを確認するには、ように、サンプル平均の分散を書く

$$\begin{align*} E(\bar{Y}_T- \mu)^2&=E\left[(1/T)\sum_{t=1}^T(Y_t- \mu)\right]^2\\ &=1/T^2E[\{(Y_1- \mu)+(Y_2- \mu)+\ldots+(Y_T- \mu)\}\\ &\quad\{(Y_1- \mu)+(Y_2- \mu)+\ldots+(Y_T- \mu)\}]\\ &=1/T^2\{[\gamma_0+\gamma_1+\ldots+\gamma_{T-1}]+[\gamma_1+\gamma_0+\gamma_1+\ldots+\gamma_{T-2}]\\ &\quad+\ldots+[\gamma_{T-1}+\gamma_{T-2}+\ldots+\gamma_1+\gamma_0]\} \end{align*}$$

長期分散を推定する際の問題は、もちろん、有限データでのすべての自己共分散を観測しないことです。カーネル（計量経済学では、「Newey-West」またはHAC推定量）がこの目的に使用され、

$$\hat{J_T}\equiv\hat{\gamma}_0+2\sum_{j=1}^{T-1}k\left(\frac{j}{\ell_T}\right)\hat{\gamma}_j$$ $k$、カーネルまたは重み付け関数であり、 γの jはサンプル自己共分散です。kは、とりわけ対称的で、k（0）=1でなければなりません。ℓTは、帯域幅パラメータです。$\hat\gamma_j$$k$$k(0)=1$$\ell_T$

人気のあるカーネルは、バートレットカーネル

$$k\left(\frac{j}{\ell_T}\right) = \begin{cases} \bigl(1 - \frac{j}{\ell_T}\bigr) \qquad &\mbox{for} \qquad 0 \leqslant j \leqslant \ell_T-1 \\ 0 &\mbox{for} \qquad j > \ell_T-1 \end{cases}$$ 良い教科書の参照であるハミルトン、時系列解析やフラー。独創的な（しかし技術的な）ジャーナル記事は、Newey and West、Econometrica 1987です。