2つのiid対数正規確率変数の差

レッツと 2 iidrvのこと。分布を知りたい。X 2ログ（X 1）、ログ（X 2）〜N （μ 、σ ）X 1 - X $X_1$$X_2$$\log(X_1),\log(X_2) \sim N(\mu,\sigma)$$X_1 - X_2$

私ができる最善の方法は、両方のテイラー級数を取り、差が残りの項間の差の残りに加えて、2つの通常のrvと2つのカイ二乗rvの差の合計であることを取得することです。2つのiid対数正規rvの差の分布を取得するより簡単な方法はありますか？

これは難しい問題です。最初に、対数正規分布のモーメント生成関数（の近似値）の使用について考えました。私が説明するように、それはうまくいきません。しかし、最初にいくつかの表記法：

ましょう標準正規密度とすることΦ対応する累積分布関数。我々は、ケースの対数正規分布を分析し、L N N （0 、1 ）密度関数であり、 F （X ）= $\phi$$\Phi$$lnN(0,1)$ および累積分布関数 F（x）=Φ（lnx）XとYが上記の対数正規分布の独立したランダム変数で あると仮定します。D=X−Yの分布に興味があります。これは平均ゼロの対称分布です。ましょM（tは）=EETXの積率母関数であるX。tに対してのみ定義されます

$$f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}x} e^{-\frac12 (\ln x)^2}$$ $$F(x) =\Phi(\ln x)$$ $X$$Y$$D=X-Y$$M(t) = \DeclareMathOperator{\E}{E} \E e^{tX}$$X$、そうゼロを含む開区間で定義されていないためモーメント発生機能。 Dがある M D（T ）= E E T （X - Y ） = E E T X E E - T Y = M （t ）M （− t ）。したがって、 Dのモーメント生成関数は t = 0に対してのみ定義され$t\in (-\infty,0]$$D$$M_D(t)=\E e^{t(X-Y)}= \E e^{tX} \E e^{-tY}= M(t)M(-t)$$D$$t=0$、あまり有用ではありません。

$D$$t\ge 0$

$$\begin{align} P(D \le t) &= P(X-Y\le t) \\ &= \int_0^\infty P(X-y\le t | Y=y) f(y) \; dy \\ &= \int_0^\infty P(X\le t+y) f(y) \; dy \\ &= \int_0^\infty F(t+y) f(y) \; dy \end{align}$$ $t<0$$P(D\le t)=1-P(D\le |t|)$

この式は、数値積分に使用したり、シミュレーションの基礎として使用したりできます。最初のテスト：

 integrate(function(y) plnorm(y)*dlnorm(y), lower=0,  upper=+Inf)
  0.5 with absolute error < 2.3e-06

これは明らかに正しいです。これを関数内にまとめましょう。

pDIFF  <-  function(t) {
    d  <-  t
    for (tt in seq(along=t)) {
        if (t[tt] >= 0.0) d[tt] <- integrate(function(y) plnorm(y+t[tt])*dlnorm(y),
                                         lower=0.0,  upper=+Inf)$value else
                          d[tt] <- 1-integrate(function(y) plnorm(y+abs(t[tt]))*dlnorm(y),
                                         lower=0.0, upper=+Inf)$value
    }
    return(d)
}

> plot(pDIFF,  from=-5,  to=5)

与えるもの：

次に、積分記号の下で微分することにより密度関数を見つけ、

dDIFF  <-  function(t) {
       d  <- t; t<- abs(t)
       for (tt in seq(along=t)) {
           d[tt]  <-  integrate(function(y) dlnorm(y+t[tt])*dlnorm(y),
                                lower=0.0,  upper=+Inf)$value
       }
       return(d)
}

テストできます：

> integrate(dDIFF,  lower=-Inf,  upper=+Inf)
0.9999999 with absolute error < 1.3e-05

そして、得られた密度をプロットする：

plot(dDIFF,  from=-5,  to=5)

また、分析的な近似値を取得しようとしましたが、これまでのところ成功しませんでした。簡単な問題ではありません。ただし、Rでプログラムされた上記の数値積分は、最新のハードウェアでは非常に高速であるため、おそらくより多く使用されるべき優れた代替手段です。

$X$$Y$

$$\begin{align} \Pr\left(\frac{X}{Y} \leq t\right) &= \Pr\left(\log\left(\frac{X}{Y}\right) \leq \log(t) \right) \\ &= \Pr(\log(X) - \log(Y) \leq \log(t)) \\ &\sim \mathcal{N}(0, 2 \sigma^2) \end{align}$$

アプリケーションによっては、これでニーズが満たされる場合があります。