制御と治療の違いは明示的または暗黙的にモデル化する必要がありますか？

次の実験的なセットアップを前提とします。

複数のサンプルが対象から取得され、各サンプルは複数の方法で処理されます（コントロール処理を含む）。主に興味深いのは、コントロールと各処理の違いです。

このデータの2つの単純なモデルを考えることができます。サンプル、処理、処理0をコントロールとして、データ、をサンプルのベースライン、を処理差とします。最初のモデルは、コントロールと違いの両方を調べます。$i$$j$$Y_{ij}$$\gamma_i$$i$$\delta_j$$j$

$$Y_{ij}=\gamma_i+\delta_j+\epsilon_{ij}$$ $$\delta_0=0$$

一方、2番目のモデルは違いのみを確認します。もし我々事前計算予め 次に $d_{ij}$

$$d_{ij}=Y_{ij}-Y_{i0}$$ $$d_{ij}=\delta_j+\varepsilon_{ij}$$

私の質問は、これら2つのセットアップの基本的な違いは何ですか？特に、レベル自体が無意味であり、違いのみが重要である場合、最初のモデルはあまりにも多くを行っており、おそらく能力が不足していますか？

おそらく第2のモデルに相関することがなく、最初のものです。$\epsilon_{ij}$

最初に、これらの項は、測定誤差と加法モデルからの偏差を表しています。測定のシーケンスをランダム化するなどの適切な注意を払って、モデルが正確な場合、これらのエラーを独立させることができます。どこから

$$d_{ij} = Y_{ij} - Y_{i0} = \gamma_i + \delta_j + \epsilon_{ij} - (\gamma_i + \delta_0 + \epsilon_{i0}) = \delta_j + (\epsilon_{ij} - \epsilon_{i0}).$$

（これは、質問の最後の方程式と矛盾し。と仮定するのは間違っていることに注意してください。、がパラメーターではなくランダム変数であると認めることになります。少なくとも、制御の測定誤差の可能性。これは以下の同じ結論につながります。）$\epsilon_{i0}=0$$\gamma_i$

以下のために、これは意味します$j, k \ne 0$$j \ne k$

$$Cov(d_{ij}, d_{ik}) = Cov(\epsilon_{ij} - \epsilon_{i0}, \epsilon_{ik} - \epsilon_{i0}) = Var(\epsilon_{i0}) \ne 0.$$

相関関係はかなりの場合があります。iidエラーの場合、同様の計算により、0.5に等しいことが示されます。この相関関係を明示的かつ正しく処理する手順を使用しているのでない限り、2番目のモデルよりも最初のモデルを優先してください。