中央値は「メトリック」または「トポロジー」プロパティですか？

用語を少し乱用したことをお詫びします。以下の説明が明確になることを願っています。

確率変数考えます。平均と中央値の両方は、最適性基準によって特徴付けることができます。平均は、を最小にする数値と、を最小にする数値の中央値です。この観点では、平均と中央値の違いは、偏差、二乗、または絶対値を評価するための「メトリック」の選択です。μ E（（X - μ ）2）E（| X - μ |$X$$\mu$$\mathrm E((X - \mu)^2)$$\mathrm E(|X - \mu|)$

一方、中央値は、そのため、その番号である（絶対連続を想定）、すなわち、この定義は唯一の能力に依存する順序の値とは無関係です彼らはどのくらい違う。これの結果は、厳密に増加するすべての関数に対して、であることを意味します。 「ゴムのような」変換の下での不変性。 Xf（x）median（f（X））=f（median（X）$\mathrm{Pr}(X \leq \mu) = \frac12$$X$$f(x)$$\mathrm{median}(f(X)) = f(\mathrm{median}(X))$

これで計算が完了し、最適性の基準から始めて位点に到達できることを知っているので、どちらも同じことを説明します。しかし、私は直感で「メトリック」に依存するものは「トポロジー」プロパティにつながらないことを教えてくれるので、混乱しています。$\frac12$

誰かがこの謎を解いてくれますか？

あなたの推論の欠陥は、メトリックに依存するものはトポロジーのプロパティにはなり得ないということです。

距離空間のコンパクトさを考えます。これは、メトリックの観点から定義できます。コンパクト性とは、スペースが完全であり（メトリックに依存）、完全に制限されている（メトリックに依存）ことを意味します。ただし、このプロパティは同相写像のもとでは不変であり、実際にはトポロジー（通常の方法では、任意のカバーの有限サブカバー）の観点からのみ定義できます。

別の例は、さまざまなホモロジー理論です。特異なホモロジーのみが、その定義において本当にトポロジカルです。他のすべて、単体、セルラー、デラム（コホモロジーですが、多少の緩みを与えてくれます）などは、余分な構造に依存しますが、同等であることがわかります（そしてかなり扱いやすい）。

これは数学的によく出てきますが、何かを定義するための最も簡単な方法は、いくつかの補助構造に関するものであり、結果のエンティティが実際には補助構造の選択にまったく依存していないことが示されています。