クロスエントロピー損失のベクトル化

パラメータ使用して、クロスエントロピー損失関数の勾配を見つけることに関連する問題を処理しています。$\theta$

$CE(\theta) = -\sum\nolimits_{i}{y_i*log({\hat{y}_{i}})}$

ここで及びθ iは、ベクトル入力されます。$\hat{y}_{i} = softmax(\theta_i)$$\theta_i$

また、正しいクラスのワンホットベクトルであり、yはソフトマックス関数を用いて各クラスの予測です。$y$$\hat{y}$

したがって、例えば有することができ 及びY iは = （0.10 0.20 0.10 0.40 0.20$y_i = \begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\\0\end{pmatrix}$$\hat{y}_{i} = \begin{pmatrix}0.10\\0.20\\0.10\\0.40\\0.20\end{pmatrix}$

偏微分見つけるには$\frac{\partial{CE(\theta)}}{\partial{\theta{ik}}} = -{y_{ik} - \hat{y}_{ik}}$

各そこから取っ個々の部分勾配はなり ∂ C E （θ $i$$\frac{\partial{CE(\theta)}}{\partial{\theta{i}}} = \begin{pmatrix}y_{i1} - \hat{y}_{i1}\\y_{i2} - \hat{y}_{i2}\\y_{i3} - \hat{y}_{i3}\\y_{i4} - \hat{y}_{i4}\\y_{i5} - \hat{y}_{i5}\end{pmatrix}$

ただし、1つのホットベクトルのプロパティを使用したため、4番目の行を除く他のすべての行の勾配は実際には0になるため、これは当てはまりません。だから、実際の勾配があるべき $\frac{\partial{CE(\theta)}}{\partial{\theta{i}}} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\\y_{i4} - \hat{y}_{i4}\\0\end{pmatrix}$

それゆえ、すべてのための勾配はする必要があり ∂ C E （θ $i$$\frac{\partial{CE(\theta)}}{\partial{\theta}} = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 & y_{i4} - \hat{y}_{i4} & 0 \\ 0 & 0 & y_{i3} - \hat{y}_{i3} & 0 & 0 \\ ... \\ 0 & y_{i2} - \hat{y}_{i2} & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$

しかし、これは等しくないのy - yの。したがって、クロスエントロピー関数の勾配を、予測と元のベクトルの差と呼ぶべきではありません。$\hat{y} - y$

誰かがこれを明確にできますか？

更新：派生を修正しました

$\theta = \left( \begin{array}{c} \theta_{1} \\ \theta_{2} \\ \theta_{3} \\ \theta_{4} \\ \theta_{5} \\ \end{array} \right)$

$CE(\theta) = -\sum\nolimits_{i}{y_i*log({\hat{y}_{i}})}$

ここで及びθ iは、ベクトル入力されます。$\hat{y}_{i} = softmax(\theta_i)$$\theta_i$

また、Yは、正しいクラスのワンホットベクトルであり、yは$y$$\hat{y}$

$\frac{\partial{CE(\theta)}}{\partial{\theta{i}}} = - (log(\hat{y}_{k}))$

$y$$\hat{y}$$y = \begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\\0\end{pmatrix}$$\hat{y} = \begin{pmatrix}0.10\\0.20\\0.10\\0.40\\0.20\end{pmatrix}$

$\theta_{ik}$$\theta_{i}$$\frac{\partial{CE(\theta)}}{\partial{\theta{i}}} = -{y_{k} - \hat{y}_{k}}$

各そこから取っI個々の部分勾配はなり ∂ C E （θ $i$$\frac{\partial{CE(\theta)}}{\partial{\theta}} = \begin{pmatrix}y_{1} - \hat{y}_{1}\\y_{2} - \hat{y}_{2}\\y_{3} - \hat{y}_{3}\\y_{4} - \hat{y}_{4}\\y_{5} - \hat{y}_{5}\end{pmatrix}$

$CE(\theta) = -(y_k*log({\hat{y}_{k}}))$$\hat{y}_{k} = log(softmax(\theta_k)) = \theta_k - log(\sum\nolimits_{j}{exp(\theta_j)})$$CE(\theta)$$\theta_i$

$\frac{\partial{CE(\theta)}}{\partial{\theta{i}}} = - (\frac{\partial{\theta_k}}{\partial{\theta{i}}} - softmax(\theta_i))$

$\frac{\partial{\theta_k}}{\partial{\theta{i}}} = 0, i \neq k$$\frac{\partial{\theta_k}}{\partial{\theta{i}}} = 1, i = k$$\frac{\partial{CE(\theta)}}{\partial{\theta}} = \hat{y} - y$

$\hat y_{ij}$$i,j$$y_{ij}=0$$\hat y_{ij}$

以下は編集と同じ内容ですが、（私にとっては）少し明確な段階的な形式です。

私たちはそれを証明しようとしています：

$\frac{\partial{CE}}{\partial{\theta}} = \hat{y} - y$

与えられた

$CE(\theta) = -\sum\nolimits_{i}{y_i*log({\hat{y}_{i}})}$

そして

$\hat{y}_{i} = \frac{exp(\theta_i)}{\sum\nolimits_{j}{exp(\theta_j)}}$

$y_{j} = 0$$j \neq k$$y_k = 1$

$CE(\theta) = -\ log({\hat{y}_{k}})$

$= - \ log(\frac{exp(\theta_k)}{\sum\nolimits_{j}{exp(\theta_j)}})$

$= - \ \theta_k + log(\sum\nolimits_{j}{exp(\theta_j)})$

$\frac{\partial{CE}}{\partial{\theta}} = - \frac{\partial{\theta_k}}{\partial{\theta}} + \frac{\partial}{\partial{\theta}} log(\sum\nolimits_{j}{exp(\theta_j))}$

$\frac{\partial{\theta_k}}{\partial{\theta_k}} = 1$$\frac{\partial{\theta_k}}{\partial{\theta_q}} = 0$$q \neq k$

$\frac{\partial{\theta_k}}{\partial{\theta}} = y$

$\theta$

$\frac{\partial}{\partial{\theta_i}} log(\sum\nolimits_{j}{exp(\theta_j))} = \frac{exp(\theta_i)}{\sum\nolimits_{j}{exp(\theta_j)}} = \hat{y}_{i}$

したがって、

$\frac{\partial{CE}}{\partial{\theta}} = \frac{\partial}{\partial{\theta}} log(\sum\nolimits_{j}{exp(\theta_j))} - \frac{\partial{\theta_k}}{\partial{\theta}} = \hat{y}$