「格子」として定義されているランダム変数の背後にある直感的な意味は何ですか？

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確率論において、非負確率変数 $X$ 呼ばれる格子が存在する場合 $d \geq 0$ よう $\sum_{n=0}^{\infty}P(X=nd) = 1$ 。

この定義がラティスと呼ばれる理由の幾何学的解釈はありますか？

probability

— user1398057
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これは、 $X$ が離散的であり、その分布にある種の規則的な間隔があることを意味します。つまり、確率質量は、点有限/可算集合に集中し ${d, 2d, 3d, \dots}$ 。

すべての離散分布がラティスではないことに注意してください。たとえば、 $X$ がの値を取ることができる場合、すべての値を倍数として表現できる $\{1, e, \pi, 5\}$ がないため、これは格子ではありません。 $d$ $d$

— 大井紅
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この用語は、ランダム変数を幾何学的対称性の研究に使用されるグループ理論の概念に関連付けます。したがって、格子ランダム変数の意味と潜在的な用途を明らかにする、より一般的な接続を見ることができます。

バックグラウンド

数学では、「格子」はトポロジーグループ離散サブグループです（通常、有限の共体積を持つと仮定されます）。 $\mathcal{L}$ $G$

"離散"とは、各要素の周りこと開集合であるのみを含む自体を：。をの点の「パターン化された」または「通常の」配置であると考えるのは公平でしょう。 $g\in\mathcal{L}$ $\mathcal{O}_g\subset\mathcal{L}$ $g$ $\mathcal{O}_g\cup\mathcal{L}=\{g\}$ $\mathcal{L}$ $G$
グループは、「点を周りに移動する」ことによって作用し、各点から軌道を形成します。基本ドメインこの作用は、各軌道の単一点から成ります。は、ボレル測定可能サブセットのサイズまたは体積を測定するために使用されるメジャー（Haarメジャー）を装備できます。測定可能な基本ドメインが見つかります。そのボリュームはあるcovolumeの。有限である場合、はこの基本的なドメインによってタイル化され、の要素はタイルを移動させると考えることができます。 $G$ $\mathcal{L}$ $\mathcal{L}$ $G$ $G$ $G$ $\mathcal{L}$ $G$ $\mathcal{L}$

図：タツノオトシゴ（No. 11）、MCエッシャー

これらのタツノオトシゴの任意のペア（1つは上下が上下）は、ユークリッド平面の視覚的に明らかな格子の基本的な領域になります。 MCエッシャー、タツノオトシゴ（No. 11）。

「格子」ランダム変数は格子でサポートされています。 $X$ $(\mathbb{R}^n, {+})$ これは、その確率がすべて格子の閉包に含まれることを意味します。格子は離散的であるための値ので、それは、閉じている：ほぼ確実に格子上にある。 $X$ $\Pr(X\in\mathcal{L})=1$

応用

質問によって暗示されるグループは、実数の加算グループであり、通常の（ユークリッド）トポロジーを持ちます。サブグループとして、ラティスはが含まれている必要があります。商は無限のボリュームがあるため、それだけでは十分ではありません（この1Dケースでは「ボリューム」=「長さ」）。従って少なくとも一つの非ゼロ要素が存在する。この要素のすべての権限もサブグループに属している必要があります。操作は加算であるため、は $(\mathbb{R}, {+})$ $\mathcal{L}$ $0$ $\mathbb{R}/\{0\}$ $g\in\mathcal{L}$ $n^\text{th}$ $g$ $ng$ 。したがって、にはすべての整数倍（負の整数を含む）が含まれます。 $\mathcal{L}$ $g$

二つの要素が存在する場合互いの累乗ではない、（1）全ての組み合わせは、（数論の小さなビットを使用して）表示することが容易であるは、、一対一の順序対に対応している及び（2）これらの組み合わせであり、緻密で意味し、離散的ではありません。このことから、すべての要素は単一の数のべき乗であると結論付けるのは簡単です $h,g\in\mathcal{L}$ $ng+mh$ $n,m\in\mathbb{Z}$ $(m,n)$ $\mathbb{R}$ $\mathcal{L}$ $\mathcal{L}$ 。 $g$ これはのジェネレータです。 $\mathcal{L}$

（同様の議論は、ラティスにはジェネレーターが必要であることを示しています。エッシャー水彩のジェネレーターは、たとえば、2単位下への変換と1単位下への変換、およそ1単位への変換です。） $(\mathbb{R}^n, {+})$ $n$

したがって、任意の実数値の格子確率変数 on に対応するものは、ジェネレータでなければなりません。 $X$ $(\mathbb{R}, {+})$ $g\ne 0$

\sum_{n = 0}^{\infty} Pr (X = n g) \leq \sum_{n = - \infty}^{\infty} Pr (X = n g) = Pr (X \in L) = 1.

$\sum_{n=0}^\infty \Pr(X=ng) \le \sum_{n=-\infty}^\infty \Pr(X=ng) = \Pr(X\in\mathcal{L}) = 1.$

したがって、質問の定義は、非負の格子変数の定義として理解できます。また、を指定することもできます。そうでない場合、サブグループでがサポートされます。サブグループは無限の共体積を持ち、格子ではありません。 $\Pr(X=0) \lt 1$ $X$ $\{0\}$

一般化

正の実数は乗法群を形成します。このグループの格子は、 $(\mathbb{R}^{+}, {\times})$ 一部について。（この格子のcovolumeは。）従って、任意の確率変数のために $\mathcal{L} = \{g^n\,|\,n\in\mathbb{Z}\}$ $g \gt 0$ $|\log(g)|$ $Y$

\sum_{n = - \infty}^{\infty} Pr (Y = g^{n}) = 1

$\sum_{n=-\infty}^\infty \Pr(Y=g^n) = 1$

このグループの格子変数と考えることができます。明らかに、は上の格子変数になります。 $\log(Y)$ $(\mathbb{R}, {+})$

— ウーバー
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