標準化変数の共分散は相関ですか？

基本的な質問があります。と 2つの確率変数があるとします。平均を引いて標準偏差で割ることで標準化できます。つまり、 $X$ $Y$ 。 $X_{standardized} = \frac{(X - E(X))}{(SD(X))}$

と相関、は、と標準化されたバージョンの共分散と同じですか？つまり、 $X$ $Y$ $Cor(X, Y)$ $X$ $Y$ ？ $Cor(X, Y) = Cov(X_{standardized}, Y_{standardized})$

correlation covariance standardization

はい。

${}{}{}{}{}$

— Dilip Sarwate、2015

\begin{aligned} corr (X, Y) & = \frac{E ((X - E (X)) \times (Y - E (Y)))}{S D (X) \times S D (Y)} \\ Cov (X_{standardized}, Y_{standardized}) & = E [(\frac{(X - E (X))}{(S D (X))} - 0) \times (\frac{(Y - E (Y))}{(S D (Y))} - 0)] \\ = \frac{E ((X - E (X)) \times (Y - E (Y)))}{S D (X) \times S D (Y)} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{corr}(X,Y)&=\frac{E\Big((X-E(X))\times(Y-E(Y))\Big)}{SD(X)\times SD(Y)}\\ \operatorname{Cov}(X_{\text{standardized}}, Y_{\text{standardized}}) &=E\Bigg[\Bigg(\frac{(X - E(X))}{(SD(X))}-0\Bigg)\times\Bigg(\frac{(Y - E(Y))}{(SD(Y))}-0\Bigg)\Bigg]\\ &= \frac{E\Big((X-E(X))\times(Y-E(Y))\Big)}{SD(X)\times SD(Y)} \end{align}$

— ヘマントルパニ
ソース

何？？？？最初の方程式の右側は確率変数で、左側は定数です。

— Dilip Sarwate、2015

(X_{1}, Y_{1}), \dots, (X_{n}, Y_{n})

$(X_1,Y_1), \ldots, (X_n,Y_n)$

\frac{1}{n}

$\frac 1n$

i

$i$

SD（X）とSD（Y）を想定外にしています。このステップの理由をもう少し説明してください。

— Erdogan CEVHER

@Erdogan定数は、変更せずにExpected（）関数の外で取得できます。

— Hemant Rupani