このディストリビューションには名前がありますか？または、それを生成する可能性のある確率的プロセスとは何ですか？

質量関数をもつ離散分布

p (x; k) = \frac{k}{(x + k) (x + k - 1)}, x = 1, 2, \dots

$p(x;k) = \frac{k}{(x+k)(x+k-1)},\quad x = 1,2,\ldots$

このペーパーの 9ページで発生します。

以下のためにそれはユール・サイモン分布を持つ、私は、他の実施例を見つけていません。 $k=1$ $\rho=1$

名前はありますか？他の状況で表示されますか？それを生成する可能性のある単純な確率的プロセスはありますか？

distributions

— サイモン・バーン
ソース

これは離散的なべき法則です。

（これは、専門用語ではなく、説明です。その意味は以下で正確になります。「離散べき乗則」というフレーズは、この回答へのコメントの@Cardinalで示されているように、少し異なる技術的意味を持っています。）

これを確認するには、部分分数分解が次のように記述できることを確認してください

p (x; k) = \frac{k}{(x + k) (x + k - 1)} = \frac{1}{1 + (x - 1) / k} - \frac{1}{1 + x / k} .

$p(x;k) = \frac{k}{(x+k)(x+k-1)} = \frac{1}{1 + (x-1)/k} - \frac{1}{1 + x/k}.$

CDF望遠鏡は閉じた形になります。

\begin{aligned} CDF (i) = \sum_{x = 1}^{i} p (x; k) \\ = & [\frac{1}{1 + 0 / k} - \frac{1}{1 + 1 / k}] + [\frac{1}{1 + 1 / k} - \frac{1}{1 + 2 / k}] + \dots + [\frac{1}{1 + (i - 1) / k} - \frac{1}{1 + i / k}] \\ = & \frac{1}{1 + 0 / k} + [- \frac{1}{1 + 1 / k} + \frac{1}{1 + 1 / k}] + [- \frac{1}{1 + 2 / k} + \dots + \frac{1}{1 + (i - 1) / k}] - \frac{1}{1 + i / k} \\ = & 1 + 0 + \dots + 0 - \frac{1}{1 + i / k} \\ = & \frac{i}{i + k} . \end{aligned}

$\eqalign{ &\text{CDF}(i) = \sum_{x=1}^i p(x;k) \\ = &[\frac{1}{1 + 0/k} - \frac{1}{1 + 1/k}] + [\frac{1}{1 + 1/k} - \frac{1}{1 + 2/k}] + \cdots + [\frac{1}{1 + (i-1)/k} - \frac{1}{1 + i/k}] \\ = &\frac{1}{1 + 0/k} + [- \frac{1}{1 + 1/k} + \frac{1}{1 + 1/k}] + [ - \frac{1}{1 + 2/k} + \cdots + \frac{1}{1 + (i-1)/k}] - \frac{1}{1 + i/k} \\ = &1 + 0 + \cdots + 0 - \frac{1}{1 + i/k} \\ = &\frac{i}{i+k}. }$

（ちなみに、これは簡単に反転できるので、この分布からランダム変数を生成する効率的な方法をすぐに提供します。単純に計算します。ここで、は一様に分布しています。。） $\lceil \frac{k u}{1 - u} \rceil$ $u$ $(0,1)$

この式をに関して微分すると、CDFが積分としてどのように記述できるかがわかります。 $i$

CDF (i) = \frac{i}{i + k} = \int_{0}^{i} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}} = \sum_{x = 1}^{i} \int_{x - 1}^{x} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}},

$\text{CDF}(i) = \frac{i}{i+k} = \int_0^i \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2} = \sum_{x=1}^i \int_{x-1}^x \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2},$

どこからでも

p (x; k) = \int_{x - 1}^{x} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}} .

$p(x;k) = \int_{x-1}^x \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2}.$

この書き込み形式は、密度によって決定される（連続）分布のファミリーのスケールパラメーターとしてを示します。 $k$

f (ξ) d ξ = (1 + ξ)^{- 2} d ξ

$f(\xi)d\xi = (1 + \xi)^{-2}\, d\xi$

また、がからまでの区間の連続確率を積分することで得られたの離散化バージョン（スケーリング）であることを示しています。これは明らかに指数法則です。この観察結果は、べき乗則と、それらが科学、工学、統計学でどのように発生するかについての広範な文献への入り口を与えてくれます。 $p(x;k)$ $f$ $k$ $x-1$ $x$ $-2$

— whuber
ソース

（+1）確率質量関数から、がであることは明らかこれは、べき則分布であると結論付けるのに十分であるようです。実際、 asです。

p (x; k) \sim k x^{- 2}

$p(x; k) \sim k x^{-2}$

x \to \infty

$x \to \infty$

p (x; k) x^{2} / k ↑ 1

$p(x;k) x^2 / k \uparrow 1$

x \to \infty

$x \to \infty$

— 枢機卿

@cardinalその通りですが、この議論には制限があります。それは、が漸近的にべき乗則であることを示すだけです。計算は、それが厳密にべき乗則の離散化バージョンであることを示しています。

p

$p$

— whuber

あなたが描こうとしている区別がよくわかりません。残念ながら、私は慎重に考える機会がありませんが、離散べき法則分布を連続べき法則分布の離散化バージョンであるものとして定義しているようです。私はあなたのコメントを正しく解釈していますか？とにかく、私が文献で離散べき法則への言及を見るとき、通常の定義は、私が使用したより弱い（すなわち、漸近的）定義のようです。（続き）

— 枢機卿

（続き）一方、Zipf分布は可能な限り離散べき乗則の純粋であるように見えますが、それが連続べき乗則の離散化として生成できるとは信じていません。私はあなたの意図を誤解しましたか？（ちなみに、上記の開発は非常に素晴らしいものです。簡単なサンプリングスキームの認識と同様に、cdfの伸縮の合計の認識は素晴らしいです。）

— 枢機卿

さて、もう少し調査した後、私はいくつかの詳細を見つけました。

これは、いわゆるすることができ、ベータ版と幾何分布の連続混合の特殊なケースだベータ幾何分布。具体的には、および場合、周辺分布にはこの分布があります。そのため、ベータ負の二項分布の特殊なケースです。

P \sim B e t a (1, k)

$P \sim \mathrm{Beta}(1,k)$

X | P \sim G e o m e t r i c (P)

$X|P \sim \mathrm{Geometric}(P)$

Y = X + 1

$Y = X+1$

これには、他にもいくつかの興味深いプロパティがあります。

それは無限の平均を持っています
それはそれ自身のテール分布を記述します：がパラメーターでこの分布を持つ場合、はパラメーターます。 $X$ $k$ $X-t | X>t$ $t+k$

— サイモン・バーン
ソース