n個の間隔を一様にランダムに描画し、少なくとも1つの間隔が他のすべての間隔と重複する確率

から間隔をランダムに描画します。各端点A、Bは間の均一な分布から選択されます。 $n$ $[0,1]$ $[0,1]$

少なくとも1つの間隔が他のすべての間隔と重複する確率はどのくらいですか？

probability

最後に描画されたが以前に描画されすべての最小値よりも小さい確率、および最後のが以前に描画されたすべての最大値よりも大きい確率を見ることができます。これは役立つはずです。次に、最後のものではなく、いずれかが必要であるという事実を説明するために、確率を膨らませます。（私はそれを介して作業する時間がありませんが、それは楽しい小さな問題のように見えます。幸運を祈ります！）

A_{n}

$A_n$

A

$A$

B_{n}

$B_n$

B

$B$

— S. Kolassa-Reinstate Monica

（1）答えが分布に依存せず（連続的であるだけで）、（2）で一定であるのは驚くべきことかもしれません！

n > 1

$n\gt 1$

— whuber

これは、n番目の間隔がどのように解釈されるかです。i）[0,1]からランダムに2つの数値を一様に描画します。ii）小さい方を、大きい方をますか。

A_{n}

$A_n$

B_{n}

$B_n$

— ekvall

この投稿は質問に答え、それが正しいことを証明するための部分的な進歩の概要を示します。

以下のため、答えは自明である。すべてのより大きい、（驚くべきことに）常にです。 $n=1$ $1$ $n$ $2/3$

理由を確認するには、最初に質問を任意の連続分布（均一分布の代わりに）に一般化できることを観察します。間隔が生成されるプロセスは、 iid変量をから描画し、間隔を形成することになります。 $F$ $n$ $2n$ $X_1, X_2, \ldots, X_{2n}$ $F$

[min (X_{1}, X_{2}), max (X_{1}, X_{2})], \dots, [min (X_{2 n - 1}, X_{2 n}), max (X_{2 n - 1}, X_{2 n})] .

$[\min(X_1,X_2), \max(X_1,X_2)], \ldots, [\min(X_{2n-1}, X_{2n}), \max(X_{2n-1}, X_{2n})].$

はすべて独立しているため、交換可能です。 これは、すべてをランダムに並べ替えた場合、ソリューションは同じになることを意味します。したがって、ソートすることによって取得された順序統計を条件にしましょう。 $2n$ $X_i$ $X_i$

X_{(1)} < X_{(2)} < \dots < X_{(2 n)}

$X_{(1)} \lt X_{(2)} \lt \cdots \lt X_{(2n)}$

（ここで、は連続なので、任意の2つが等しくなる可能性はゼロです）。間隔はランダム順列を選択することによって形成されているとペアでそれらを結びます $F$ $n$ $\sigma\in\mathfrak{S}_{2n}$

[min (X_{σ (1)}, X_{σ (2)}), max (X_{σ (1)}, X_{σ (2)})], \dots, [min (X_{σ (2 n - 1)}, X_{σ (2 n)}), max (X_{σ (2 n - 1)}, X_{σ (2 n)})] .

$[\min(X_{\sigma(1)},X_{\sigma(2)}), \max(X_{\sigma(1)},X_{\sigma(2)})], \ldots, [\min(X_{\sigma(2n-1)}, X_{\sigma(2n)}), \max(X_{\sigma(2n-1)}, X_{\sigma(2n)})].$

これらのオーバーラップの任意の二つか否かの値に依存しない、 $X_{(i)}$ オーバーラップするいずれかにより任意の単調変換保存されているため、などがありますを送信する変換。したがって、一般性を失うことなく、を取ることができ、問題は次のようになります。 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $X_{(i)}$ $i$ $X_{(i)}=i$

セット 1、2nを素なダブルトンに分割します。それらのうちのいずれか2つ、と（と）、オーバーラップするときと。パーティションの要素の少なくとも1つが他のすべての要素とオーバーラップしている（およびそうでない場合は「不良」）場合、パーティションは「良好」であるとします。関数として、適切なパーティションの割合はどのくらいですか？ $\{1,2,\ldots, 2n-1, 2n\}$ $n$ $\{l_1,r_1\}$ $\{l_2,r_2\}$ $l_i \lt r_i$ $r_1 \gt l_2$ $r_2 \gt l_1$ $n$

説明のために、ケース考えます。3つのパーティションがあります。 $n=2$

{{1, 2}, {3, 4}}, {{1, 4}, {2, 3}}, {{1, 3}, {2, 4}},

$\color{gray}{\{\{1,2\},\{3,4\}\}},\ \color{red}{\{\{1,4\},\{2,3\}\}},\ \color{red}{\{\{1,3\},\{2,4\}\}},$

そのうち2つの良いもの（2番目と3番目）は赤く着色されています。したがって、の場合の答えはです。 $n=2$ $2/3$

このようなパーティションをグラフ化するには、数直線上に点をプロットし、各と間に線セグメントを描画し、視覚的な重なりを解決するためにわずかにオフセットします。以下は、同じ色で同じ順序で、前の3つのパーティションのプロットです。 $\{\{l_i,r_i\},\,i=1,2,\ldots,n\}$ $\{1,2,\ldots,2n\}$ $l_i$ $r_i$

今後、このようなプロットをこの形式で簡単に収めるために、それらを横向きにします。たとえば、ここにパーティションがありますが、ここでも良いパーティションは赤で表示されています。 $15$ $n=3$

十が良好である、ようにするための答えある。 $n=3$ $10/15=2/3$

最初の興味深い状況は、ときに発生します。さて、最初に、それはスパンに間隔の労働組合のために可能であるを通じて他人と交わるそれらの任意の単一のものなし。例はです。ラインセグメントの結合はからまで途切れずに実行されますが、これは適切なパーティションではありません。それでも、パーティションのうちが良好であり、比率はままです。 $n=4$ $1$ $2n$ $\{\{1,3\},\{2,5\},\{4,7\},\{6,8\}\}$ $1$ $8$ $70$ $105$ $2/3$

パーティションの数はとともに急速に増加します。これはに等しくなります。までのすべての可能性を網羅的に列挙すると、答えとしてが得られます。までのモンテカルロシミュレーション（それぞれに回の繰り返しを使用）では、からの大きな偏差はありません。 $n$ $1\cdot 3\cdot 5 \cdots \cdot 2n-1 = (2n)!/(2^nn!)$ $n=7$ $2/3$ $n=100$ $10000$ $2/3$

良いパーティションと悪いパーティションの比率が常にあることを示す賢明でシンプルな方法があると確信していますが、見つけられませんでした。慎重な統合（元の均一な分布を使用）によって証明が利用可能ですが、かなり複雑であり、啓発的ではありません。 $2:1$ $X_i$

— ウーバー
ソース

とてもかっこいい。「注文統計の条件」の意味を理解するのに苦労していますが、直観を追加することは可能でしょうか？便利なテクニックのようです。は交換可能であり、実際にはでさえも可能であること、これによりあらゆる順列を考慮することができることを理解しています。

X_{i}

$X_i$

i i d

$iid$

— ekvall

@Student「条件付け」とは、これらの値を一時的に固定して、そこから何を学べるかを考えてみましょう。後で、これらの値を（それらの確率分布に従って）変化させます。この場合、順序統計の固定値に関係なく答えがであることがわかると、順序統計を変更する2番目のステップを実行する必要がなくなります。数学的に、順序統計はベクトル値の変数あり、良好であることの指標はなので、

2 / 3

$2/3$

X

$\mathbf{X}$

Y

$Y$

E (Y) = E (E (Y | X)) = E (2 / 3) = 2 / 3.

$\mathbb{E}(Y)=\mathbb{E}(\mathbb{E}(Y|\mathbf{X}))=\mathbb{E}(2/3)=2/3.$

— whuber